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surjektiver Hom. mit Kern I

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Euler03 aktiv_icon

17:10 Uhr, 11.04.2024

Sei

ϕ : R [X_{1}, \dots, X_{d}] \to S

ein surjektiver Homomorphismus mit Kern

I

. Angenommen

I = I_{0} R [X_{1}, \dots, X_{d}]

für ein Ideal

I_{0}

von

R

. Zeige, dass

I_{0} = k e r ({ϕ ∣}_{R})

und

S ≅ ϕ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}]

.

Teil 1

I_{0} = k e r ({ϕ ∣}_{R})

:
Wenn ich hier ein Element r in

I_{0}

betrachte, ist r doch multipliziert mit jedem Polynom in

R [X_{1}, \dots, X_{d}]

in I (Insbesondere ist r multipliziert mit dem Polynom 1 in I). Daher liegt r im Kern von

ϕ

.

Umgekehrt, betrachten ist r ein Element

k e r ({ϕ ∣}_{R})

.Da r im Kern von

ϕ

liegt, ist r multipliziert mit jedem Polynom in

R [X_{1}, \dots, X_{d}]

in I (Insbesondere ist r multipliziert mit dem Polynom 1 wieder in I), weshalb r wieder in

I_{0}

.

Wenn meine Idee so richtig ist müsste damit doch die Aussage folgen??

Teil 2

S ≅ ϕ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}]

:
Wenn ich jetzt einen Homomorphismus

ψ : ϕ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}] \to S

konstruieren (

ψ (f) = ϕ (f)

für alle f in

ϕ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}]

), dann ist

ψ

doch auch surjektiv, weil

ϕ

surjektiv ist?

Wenn ich jetzt zeige, dass

ψ

bijektiv ist (indem ich den Kern von

ψ

betrachte), dann folgt doch gerade

S ≅ ϕ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}]

.

Liege ich da mit meiner Beweisidee richtig?

Danke für Rückmeldung,
LG Euler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

michaL aktiv_icon

19:35 Uhr, 11.04.2024

Hallo,

zunächst einmal frage ich mich, ob die Aussage nicht noch an Bedingungen geknüpft ist.
Meines Erachtens müsste

R

mindestens unitär sein, sehr wahrscheinlich sind auch nur kommutative Ringe betrachtet, gell?

Ich gehe jedenfalls im folgenden von kommutativen Ringen mit 1 aus.

Zur erste Idee: Es ist ja

I_{0} = \ker (φ ∣_{R})

zu zeigen.
"

\subseteq

" ist in Ordnung.
Bei "

\subseteq

" musst du zeigen, dass für jedes Element

x \in \ker (φ ∣_{R})

schon

x \in I_{0}

gilt.
Da denke ich, du müsstest darüber argumentieren, dass natürlich wegen

\ker (φ ∣_{R}) \subseteq I

es ein

x_{0} \in I_{0}

und ein

p \in R [X_{1}, \dots, X_{d}]

muss mit

x = x_{0} \cdot p

.
Hier ist der (ich nenne es mal) Minimalgrad von

p

wichtig. Ich will darunter die minimale Potenz eines der

X_{i}

verstehen, die in

p

vorkommt, aber >0 ist, sofern es so etwas gibt.
Ist dieser Minimalgrad nämlich größer Null, so wäre es auch der von

x = x_{0} \cdot p

, was aber der Tatsache widerspricht, dass ja

x \in R

zu gelten hat.
Also gilt wegen

p \in R

x_{0} \in I_{0}

, dass

x = x_{0} \cdot p \in I_{0}

gilt, was ja zu zeigen war.

Zum zweiten Teil muss ich mir noch Gedanken machen.

Mfg Michael

Euler03 aktiv_icon

20:13 Uhr, 11.04.2024

Hallo michaL,

Danke dir schon mal vielmals für deine gut verständliche Erklärung zum ersten Teil :-)

Weitere Bedingungen zum Ring (unitär / kommutativ) sind so in der Aufgabenstellung leider nicht gegeben - da wir uns zuletzt aber viel mit kommutativen Ringen beschäftigt haben (jetzt gerade explizit mit Polynomen in 2 Unbekannten) gehe ich aber auch sehr stark davon aus, dass man hier einen kommutativen Ring mit Eins so annehmen darf.

LG Euler

michaL aktiv_icon

10:30 Uhr, 12.04.2024

Hallo,

nun gut, dann gehen wir erst einmal von kommutativen Ringen mit 1 aus.

Ich glaube, einen gangbaren Weg fü den 2. Teil gefunden zu haben.

Sicher ist

S = φ (R [X_{1}, \dots, X_{d}]) ≃ R [X_{1}, \dots, X_{d}] /_{I}

gemäß Homomorphisatz. (Dürfen wir den als bekannt voraussetzen?)

Dann brauchen wir nur noch eine bijektive Abbildung zwischen

R [X_{1}, \dots, X_{d}] /_{I}

und

φ (R) [X_{1}, \dots, X_{d}]

.

Da bietet sich sicher was kanonisches an à la

(\sum_{k = (k_{1}, \dots, k_{d}) \in ℕ^{d}} a_{k} \cdot X_{1}^{k_{1}} \cdot \dots \cdot X_{d}^{k_{d}}) + I \mapsto \sum_{k = (k_{1}, \dots, k_{d}) \in ℕ^{d}} φ (a_{k}) \cdot X_{1}^{k_{1}} \cdot \dots \cdot X_{d}^{k_{d}}

Ich denke, es sollte gelingen, die Bijektivität dieser Abbildung zu zeigen. Sicher wird man dafür

I = I_{0} R [X_{1}, \dots, X_{d}]

benötigen.

Mehr schaffe ich im Moment nicht. Versuche doch mal, ob du damit schon klar kommst.

Mfg Michael

EDIT: "

\cdot

" in "

+

" geändert und einen copy/paste-Fehler korrigiert

PS: So, nach ein bisschen Zeit ist mir jetzt schon klar, dass folgende 3 Eigeschaften der obigen Abbildungen leicht gezeigt werden können:
* Wohldefiniertheit
* Surjektivität
* Injektivität

Wohldefiniertheit: Führt darauf zurück, dass alle Elemente von

I

auf 0 abgebildet werden. (Hier

I = I_{0} R [X_{1}, \dots, X_{d}]

verwenden!)

Surjektivität: Über die Surjektivität von

φ

und über Monome.

Injektivität: Zu zeigen: Es gibt kein Element im Komplement von

I

, dass auf 0 abgebildet wird. (Hier

I = I_{0} R [X_{1}, \dots, X_{d}]

verwenden!)

Euler03 aktiv_icon

19:30 Uhr, 12.04.2024

Hi michaL,

Danke dir auch für deine Ausführungen zum 2 Teil (weiß ich sehr zu schätzen, dass du dir dabei so viel mühe gibst und alles verständlich beschreibst bzw. erklärst :-)).

Der Homomorphiesatz ist mir in der Tat bekannt - Jetzt die Wohldefiniertheit und die Bijektivität (Injektiv und Surjektiv) noch genau bzw. formal zu zeigen müsst ich normalerweise hinbekommen :-).

Wenn ich da dann doch nicht weiterkomme, melde ich mich nochmals - aber wie gesagt, schon mal vielen Dank für deine bisherige Hilfe!

LG Euler

PS: Kann ich beim ersten Teil, was zu mit "Minimalgrad von p" beschrieben, als Minimalpolynom bezeichnen (oder verstehe ich das falsch)?

michaL aktiv_icon

19:43 Uhr, 12.04.2024

Hallo,

nehmen wir mal konkret

d = 2

, so könnten wir ja

1 + x_{1} + 3 x_{2}^{2} - 5 x_{1}^{2} x_{2}^{3}

betrachten.

Es treten verschiedene Exponenten auf. Der erste Summand kann als

x_{1}^{0} x_{2}^{0}

geschrieben werden, der zweite als

x_{1}^{1} x_{2}^{0}

usw.

Für mich wäre der Minimalgrad da gleich 1 gewesen. (Die 1 z.b. von

x_{1}^{1}

.)

Klar ist doch, dass der Minimalgrad eines Produktes (zumindest bei einem nullteilerfreien Ring) nicht kleiner als der Minimalgrad der Faktoren sein kann. Darauf wollte ich hinaus.

Mfg Michael

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