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symmetrische Matrizen nur reelle Eigenwerte?

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

fluffipuffi aktiv_icon

15:05 Uhr, 22.02.2012

Hallo,

auf unserem Klausurvorbereitungsblatt, welches uns heute zur Verfügung gestellt wurde (und die Klausur ist schon morgen - danke hierfür) ist folgende Aufgabe gestellt:

Beweisen Sie: Ist A Element

R^{2 x 2}

symmetrische (heißt

A^{T} = A)

sind die Eigenwerte von A reell.

Ich wüsste nicht wie ich diese Aufgabe lösen sollte. Hierfür gibt es 7 von

60

möglichen Punkten...das ist schon viel denk ich.

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir helfen könntet.

dapso aktiv_icon

15:10 Uhr, 22.02.2012

Hallo
Berechne doch einfach mal die Eigenwerte der Matrix

(\begin{array}{rcl} a & b \\ b & c \end{array})

Bummerang

15:17 Uhr, 22.02.2012

Hallo,

die Eigenwerte selbst werden nicht benötigt!

Deine Matrix sieht wie folgt aus:

(\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix})

Als charakteristisches Polynom ergibt sich:

(a

- λ) \cdot (c - λ) - b^{2} = λ^{2} - (a + c) \cdot λ + a \cdot c - b^{2}

Es gibt 2 reelle Nullstellen, wenn die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung nicht negativ wird. Also muß gelten:

0 \leq {(\frac{1}{2} \cdot (a + c))}^{2} - a \cdot c + b^{2}

\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4} \cdot (a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) - a \cdot c + b^{2}

\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4} \cdot a^{2} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot c + \frac{1}{4} \cdot c^{2} - a \cdot c + b^{2}

\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4} \cdot a^{2} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot c + \frac{1}{4} \cdot c^{2} + b^{2}

\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4} \cdot (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) + b^{2}

\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4} \cdot {(a - c)}^{2} + b^{2}

Und das ist für alle

a, b

und

c

erfüllt!

fluffipuffi aktiv_icon

15:21 Uhr, 22.02.2012

Was ist eine Diskriminante?? So ganze kann ich nicht nachvollziehen, wie du die Gleichung aufgestellt hast. Sicher wie ich das charakteristische Polynom bekomme ist klar, aber der Rest ist mir schleierhaft...sorry

dapso aktiv_icon

15:24 Uhr, 22.02.2012

Das charakteristische Polynom ist eine quadratische Funktion. Von dieser muss du nun die Nullstellen bestimmen, was man mit der pq Formel machen kann. Damit die Nullstellen reell sind, muss der Ausdruck unter der Wurzel größer als 0 sein. Also musst du nur zeigen, das der Wurzelausdruck

\geq 0

ist. Das ist einfach nur stur Umformen.

fluffipuffi aktiv_icon

15:26 Uhr, 22.02.2012

Ok, jetzt habens auch die Dummen verstanden. Manchmal braucht man 2 Worte mehr ums zu verstehen, dank euch. :-)

Bummerang

15:27 Uhr, 22.02.2012

Hallo,

"Was ist eine Diskriminante??" - Wozu gibt es wikipedia?

"aber der Rest ist mir schleierhaft" - Was heißt, der Rest ist Dir schleierhaft? Dass Du den Ansatz mangels Kenntnissen über quadratische Gleichungen nicht schaffst, ist noch nachvollziehbar, danach folgen aber Standard-Umfomungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formeln anwenden, Koeffizienten zusammenfassen. Auch das ist Dir schleierhaft?

fluffipuffi aktiv_icon

15:29 Uhr, 22.02.2012

Vielleicht änderst du mal ganz schnell deinen Umgangston mein Freund. Wir sind hier auf einem Portal in welchem man gegenseitig hilft und nicht einander runter macht. Vielleicht überlegst du dir mal, ob du hier richtig aufgehoben bist!

Trabsdor aktiv_icon

11:36 Uhr, 07.05.2013

Hallo,

ich habe mich gerade mit genau derselben Frage beschäftigt und wollte deshalb nicht extra eine neue Frage aufmachen.

Ich hätte da noch ein paar Fragen zu diesem Beweis:

Wieso muss man davon ausgehen, dass genau zwei reelle Nullstelle existieren müssen, wenn die Eigenwerte aus reellen Zahlen bestehen sollen? Es könnte doch auch einfach eine existieren, wenn die Diskriminante null wäre?

Warum kann man davon ausgehen, dass wenn die Matrix reell ist auch die Eigenwerte reell sind?

Vielleicht sind das dumme Fragen aber ich stehe bei diesem Thema noch ziemlich am Anfang.

Vielen Dank

michaL aktiv_icon

12:03 Uhr, 07.05.2013

Hallo,

@Trabsdor:

> Wieso muss man davon ausgehen, dass genau zwei reelle Nullstelle existieren müssen, wenn die Eigenwerte aus reellen
> Zahlen bestehen sollen? Es könnte doch auch einfach eine existieren, wenn die Diskriminante null wäre?

Muss man doch gar nicht. Der geschätzte Kollege Bummerang schreibt ja explizit, dass die Diskriminante stets größer ODER GLEICH Null ist.
Bei "gleich Null" ergibt sich ja tatsächlich nur ein einziger (aber eben auch reeller) Eigenwert.

> Warum kann man davon ausgehen, dass wenn die Matrix reell ist auch die Eigenwerte reell sind?

Hm, nun bin ich doch ein bisschen sprachlos. Das ist doch durch die Vorposter ziemlich detailliert geklärt worden?!?
Kennst du alle für diesen Beweis notwendigen Zusammenhänge? Kennst du charakteristische Polynome, dass deren Nullstellen die Eigenwerte der zugehörigen Matrix sind? Kennst du den Begriff Diskriminante und weißt du, welchen Zusammenhang es zur (reellen) Lösbarkeit quadratischer Gleichungen gibt?

@fluffipuffi: Ich finde, du solltest dich an deine Tipps zunächst mal selbst halten. Ich kann Bummerang gut verstehen. Deine Leistung bei dieser Aufgabe bestand nur darin, nachzuvollziehen. So geht studieren nicht. Studieren (und Lernen im allgemeinen) setzt eigene Aktivität voraus, die du ganz deutlich hast missen lassen.
Manch andere werden wissen, dass wir beide von Glück reden können, dass du nicht an mich geraten bist mit deinem Verhalten.
Begriffe nicht zu kennen, finde ich nicht schlimm. Du aber hast recht bequem einfach nachgefragt, statt selbst aktiv zu werden. Das werfe ich manch einem auch vor. Studere heißt sich bemühen, nicht jemanden bemühen.
Und dann noch diese Antwort. Sorry, aber die geht gar nicht.

Ist aber vielleicht nur meine Meinung. Ich werde mich in diesem Faden nur noch zum Thema äußern.

Mfg Michael

Trabsdor aktiv_icon

12:25 Uhr, 07.05.2013

Hallo Michael,

vielen Dank für deine Antwort.

Das war mein Fehler, dass ich die Gleichheit bei Bummerangs Beweis nicht gesehen habe. Hatte mich deswegen gewundert.

Und ja ich weiß, was eine Diskriminante ist, deshalb hab ich ja die erste Frage gestellt ;-)!
Habe mir aber den Zusammenhang nicht klar gemacht, dass wir ja die zwei REELLEN Nullstellen einer quadratischen Gleichung suchen. Das habe ich mir dann aber bereits selber erklären können.

Vielen Dank

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