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symmetrischer, orthogonaler Matrizen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

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16:14 Uhr, 13.06.2011

Hallo,

die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die Matrix

Q = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{matrix})

a)

Zeigen Sie, dass

Q

orthogonal ist.

b)

Bestimmen Sie die Eigenwerte von Q.

c)

Was kann man allgemein über die Eigenwerte symmetrischer, orthogonaler Matrizen
sagen? Begründen Sie ihre Antwort.
Hinweis: (Betrachten Sie das Skalarprodukt (Qv)

\cdot

(Qv), wobei

v

ein Eigenvektor
zum Eigenwert

λ

ist.)

Das Problem liegt hier bei Aufgabe

c)

. Ich weiß für eine symmetrische Matrix

A \in ℝ^{n x n}

gilt:

a) A

hat nur reelle Eigenwerte.

b)

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

c)

Für jeden Eigenwert von A stimmen die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten überein.

Wie begründe ich das mit dem Skalarprodukt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

16:21 Uhr, 13.06.2011

Nun, ich weiß nicht, wie bei euch orthogonal definiert wurde. Manchmal definiert man eine Matrix

A \in ℝ^{n \times n}

also orthogonal, wenn

A \cdot A^{T} = E

gilt. Eine andere Möglichkeit der Definition ist

< v, w > = < A v, A w >

, für alle

v, w \in ℝ^{n}

.

Man kann dann auch zeigen, dass diese beiden Definitionen äquivalent sind, also genau dieselben Matrizen

A

beschreiben.

Du weißt also über

Q

, dass

< Q v, Q v > = < v, v >

ist, schätze, dass solltet ihr dann irgendwann mal gemacht haben.

Gruß
Sina

MCSib aktiv_icon

16:32 Uhr, 13.06.2011

Wir haben das so definiert man eine Matrix

A \in ℝ^{n x n}

also orthogonal, wenn

A \cdot A^{T} = E

gilt.
Zudem weiß ich das die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

z . B

λ_{i} \neq λ_{j}

von A gilt:

v_{i} \cdot v_{j} = 0 (d . h

v_{i}, v_{j}

sind orthogonal.)

slowpoke aktiv_icon

18:44 Uhr, 13.06.2011

genau, wenn du zeigen sollst, dass die Matrix orthogonal ist, dann transponierst du die Matrix und multiplizierst sie mit der Ausgangsmatrix. Kriegst du dann einen eine Einheitsmatrix raus, so hast du das bewiesen. Es gilt

A^{- 1} = A^{T}

bzw.

A \cdot A^{T} = E

Du hast ja schon die Antwort für die Aufgabe

c)

erbracht. Mehr würde mir da auch nicht einfallen

Bist du dir sicher dass dort steht:

Q v = Q v

und nicht irgendwas wie:

Q v = λ v

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