tangente und normale 1 aufgabe

Hi,

eine Tangente ist nichts anderes als eine Gerade.

Um also die gesuchte Tangentengleichung aufzustellen, arbeitet man mit der allgemeinen

linearen Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Die Variablen m (Steigung) und b (Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse) müssen mit Leben gefüllt werden.

Die Steigung m erhält man über die erste Ableitung der Funktion an der angegebenen Stelle x=2. (Steigung der Funktion an der Stelle 2 ist gleich der Steigung der Tangente im Punkt (2/-6).

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4}$

Steigung an der Stelle x = 2:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(2\right)=2-4=-2=\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Bestimmen von b:

${\displaystyle -6=-2\cdot 2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle -2=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Gleichung der Tangente: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}$

Bestimmung der Normalen:

Da die Normale senkrecht zur Tangente verläuft, gilt für die beiden Steigungen:

${\displaystyle {\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot {\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-1}$

Damit folgt aus:${\displaystyle -2\cdot {\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-1}$ für ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$: ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\frac{1}{2}}$

Die Normale verläuft auch deurch Punkt (2/-6), also folgt:

${\displaystyle -6=\frac{1}{2}\cdot 2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle -7=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Gleichung der Normalen: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-7}$

siehe auch Zeichnung

pantau