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tau(n) = sigma(n) = p

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Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Sigma, Zahlentheorie

bhmth aktiv_icon

19:48 Uhr, 20.05.2017

Ich habe folgende Aufgabe:

1. Welche Bedingung muss eine Zahl

n \in ℕ

erfuellen, damit

τ (n)

und

σ (n)

beides Primzahlen sind.

2. Beweisen Sie: Wenn es undendlich viele Mersenne'sche Primzahlen gibt, dann gibt es auch unendlich viele Zahlen

n \in ℕ

sodass

τ (n)

und

σ (n)

Primzahlen sind.

Zu erstens habe ich mir folgendes gedacht: Wenn

n = p^{2}

dann gilt

τ (n) = p_{i}

und

σ (n) = p_{j}

. Das kann ich zwar nicht beweisen aber wenn man sich einige Primzahlen anschaut scheint die Vermutung zu stimmen.

zb

173^{2} = 29929

und

τ (29929) = 3

und

σ (29929) = 30103

und sowohl 3 und

30103

sind Primzahlen.

Zu zweitens bin ich noch recht ratlos

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

15:29 Uhr, 21.05.2017

τ

soll wahrscheinlich die Anzahl der Teiler sein und

σ

die Summe der Teiler, oder?

- - - -

"Wenn

n = p^{2}

dann gilt

τ (n) = p_{i}

und

σ (n) = p_{j}

"

Was ist hier

p_{i}

bzw

p_{j}

? Wahrscheinlich soll das einfach nur dafür stehen, dass

p_{i} := τ (n)

und

p_{j} = σ (n)

Primzahlen sein sollen, oder?

Die Forderung

n = p^{2}

ist weder notwendig noch hinreichend.

Die Forderung ist nicht hinreichend. Denn beispielsweise ist

σ (7^{2}) = 1 + 7 + 7^{2} = 57 = 3 \cdot 19,

so dass

σ (7^{2})

keine Primzahl ist.

Die Forderung ist nicht notwendig, denn beispielsweise ist

τ (7^{4}) = 5, σ (7^{4}) = 1 + 7 + 7^{2} + 7^{3} + 7^{4} = 2801,

wobei 5 und

2081

Primzahlen sind.

- - - -

Für

n = 1

sind

τ (1) = 1

und

σ (1) = 1

keine Primzahlen. Betrachte daher im folgenden nur

n \in ℕ

mit

n \geq 2

.

Betrachte die Primfaktorzerlegung von

n :

n = p_{1}^{e_{1}} \cdot ... \cdot p_{m}^{e_{m}}

Es ist:

τ (n) = (e_{1} + 1) \cdot ... \cdot (e_{m} + 1)

Wenn

m \geq 2

ist, so ist

τ (n)

keine Primzahl. Daher muss

m = 1

sein, also

n = p_{1}^{e_{1}}

eine Primzahlpotenz sein.

Nun sollen

τ (n) = e_{1} + 1

und

σ (n) = 1 + p_{1} + ... + p_{1}^{e_{1}} = \frac{p_{1}^{e_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1}

Primzahlen sein. (Insbesondere muss

e_{1}

gerade sein.)

Ich würde daher als Ergebnis der ersten Teilaufgabe angeben:

n

muss eine Primzahlpotenz

n = p^{k}

(mit geradem

k \in ℕ)

sein, so dass

k + 1

und

\frac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}

Primzahlen sind.

[

Ich sehe im Moment nicht, wie man die Forderung noch weiter vereinfachen könnte.]

- - - -

Für die zweite Teilaufgabe kannst du ausnutzen, dass

2^{k} - 1 = σ (2^{k - 1}) = σ (n)

für

n = 2^{k - 1}

mit

k \in ℕ

ist.

bhmth aktiv_icon

16:35 Uhr, 21.05.2017

Hallo und vielen Dank fuer deine sehr ausfuehrliche und hilfreiche Antwort.
Mit

τ (n)

ist die Teileranzahlfunktion und mit

σ (n)

die Teilersummenfunktion gemeint.

ich habe noch eine Frage:

wenn

n

nun von der Form

n = p^{2 k}

sein soll ja auch

7^{2}

diese Voraussetzung erfuellen, aber wie oben schon gesagt ist

57 = \frac{7^{3} - 1}{7 - 1} = σ (7^{2})

und

57

ist ja keine Primzahl. Stehe ich da jetzt noch irgendwie auf der Leitung beim verstehen deiner Antwort ?

mihisu aktiv_icon

16:51 Uhr, 21.05.2017

Deswegen steht ja auch bei mir in der Forderung "so dass

k + 1

und

\frac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}

Primzahlen sind".

\frac{7^{3} - 1}{7 - 1}

ist keine Primzahl, weshalb

n = 7^{2}

meine Forderung nicht erfüllt.

Evtl. habe ich meine Forderung tatsächlich so aufgeschrieben, dass sie unter umständen missverstanden werden könnte. Daher noch ein Versuch:

Forderung:
Es gibt eine Primzahl

p

und ein

k \in ℕ

mit folgenden Eigenschaften:
1. Es ist

n = p^{k}

.
2.

k + 1

ist Primzahl.
3.

\frac{p^{k + 1} - 1}{p - 1}

ist Primzahl.

Äquivalente Forderung:
Es gibt Primzahlen

p

und

q

mit folgenden Eigenschaften:
1. Es ist

n = p^{q - 1}

.
2.

\frac{p^{q} - 1}{p - 1}

ist Primzahl.

bhmth aktiv_icon

21:19 Uhr, 21.05.2017

Super vielen Dank, dein Forderung 3. war mir nicht bewusst.

zum 2ten Teil habe ich deine Idee aufgegriffen, und habe das jetzt mal so aufgeschrieben.

Sei

m \in ℕ

von der Form

m = 2^{k - 1}

dann gilt

τ (m) = 2

und

σ (m) = 2^{k} - 1

. Wenn

k

nun prim ist es auch

2^{k} - 1

und damit sind

τ (m)

und

σ (m)

wieder beide prim. Da die zahlen

m

unendlich sind sind

τ (m)

und

σ (m)

genau dann prim wenn

2^{k} - 1

eine Mersenne-Primzahl ist. Sollte es unendlich viele Mersenne-Primzahlen geben dann gibt es auch unendlich viele

m

fuer die gilt

τ (m)

und

σ (m)

sind prim.

mihisu aktiv_icon

21:52 Uhr, 21.05.2017

"Sei

m \in ℕ

von der Form

m = 2^{k - 1}

dann gilt

τ (m) = 2

und \sigma(m)=2^k-1."

Nicht ganz. Für

k \neq 2

ist dann

τ (m) = τ (2^{k - 1}) = k \neq 2

.

"Wenn

k

nun prim ist es auch

2^{k} - 1

"

Nein. Beispielsweise ist

11

prim. Jedoch ist

2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89,

also

2^{11} - 1

keine Primzahl.

"Da die zahlen

m

unendlich sind sind

τ (m)

und

σ (m)

genau dann prim wenn 2^k−1 eine Mersenne-Primzahl ist."

Der Teil "

τ (m)

und

σ (m)

genau dann prim wenn 2^k−1 eine Mersenne-Primzahl ist" ist richtig, folgt aber nicht da die Zahlen

m

unendlich sind. Außerdem sind die Zahlen

m

gar nicht unendlich. Da

m \in ℕ

ist

m

als natürliche Zahl endlich.

- - - -

Ich fasse nochmal das Richtige richtig zusammen:

M_{k} = 2^{k} - 1

ist genau dann eine Mersenne-Primzahl, wenn

2^{k} - 1

und

k

Primzahlen sind.

Des Weiteren ist

τ (n) = τ (2^{k - 1}) = k

und

σ (n) = σ (2^{k - 1}) = 1 + 2 + ... + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1

für

n := 2^{k - 1}

.

Wenn es nun unendlich viele Mersenne-Primzahlen

M_{k} = 2^{k} - 1

gibt, so gibt es unendlich viele Zahlen

n = 2^{k - 1},

so dass

τ (n) = k

und

σ (n) = 2^{k} - 1

Primzahlen sind.

bhmth aktiv_icon

22:09 Uhr, 22.05.2017

Vielen Dank für deine Hilfe!

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