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transitive Hülle

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Tags: Sonstiges

ridey

11:34 Uhr, 14.11.2012

Hallo, wie kann ich beweisen,dass das Relationsprodukt von einer transitiven Relation

R

mit sich selbst, also R²,

R^{3}, .

. eine Teilmenge der Relation selbst ist?
Stimmt das denn überhaupt? Ich habs durch Beispiele so gefolgert.. Danke,

LG :-)

vulpi aktiv_icon

18:33 Uhr, 14.11.2012

Hi !
Ich weiß nicht, ob ich deine Aussage fehlinterpretiere, denn ich seh' da einen
grundsätzlichen Denkfehler.
Das "Quadrat" einer Menge (und Relationen sind auch Mengen) kann doch nie(?) Teilmenge
der Menge selber sein.
Die Elemente von MXM sind geordnete Paare

(x, y),

wobei

x, y

Elemente von

M

sind.
Damt hat man doch immer inkompatible Datentypen.

Jedenfalls im Allgemeinen.

Vllt könnte man ja so eine Menge

M

konstruieren, die dann die unendliche Rekursion
darstellt.
Start

M_{0} = {1,2}

Da ja

M^{2}

Teilmenge sein soll, braucht

M

dann auch

(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

M_{1} = {1,2, (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

M_{1}^{2}

Teilmenge

\Rightarrow (1, (1,1)), (1, (1,2), ... . ((2,2); (2,2)) = 32

neue Kandidaten

M_{2} = {1,2, (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1, (1,1)), (1, (1,2), ... . ((2,2); (2,2))}

usw. usw. wird man nie fertig.
An sich sind ja unendliche Mengen erlaubt, also könnt es schon solche Exoten geben,
aber allgemein ?

ridey

15:57 Uhr, 15.11.2012

Wenn eine Relation zum Bsp.

: {(1,2) (2,3) (1,3)}

die ist dann transitiv oder?

R²

= {(1,3)}, .

.

weil ja das Relationsprodukt so definiert ist

: R \subseteq A \times B

und eine Relation

S \subseteq B \times C

Das Ergebnis ist die Relation: RS

= S \circ R = {(a, c) \in A \times C | \exists ~ b \in B : (a, b) \in R and (b, c) \in S}

Und wenn die Relation transitiv ist, werden die Paare des Relationsprodukts nie mehr als die Relation, oder?

Wenn es das Gegenteil ist, kannst du mir ein Bsp. zeigen?
Weil man verknüft in dem Fall ja immer R°R oder?

Danke!! :-)

ridey

16:01 Uhr, 15.11.2012

aja und bei dem Bsp mit

M (0) = {(1,2)}

wäre das Relationsprodukt M² doch die leere Menge, oder versteh ich das falsch lt. defintion?

und bei meiner obigen Antwort mein ich bei R² mit den drei punkten dass dann

R^{3}

kommen würde, dass wäre wiederum die leere Menge..

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