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transitive Operation

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Gruppen

Tags: Gruppen, Gruppenoperation, transitiv

Marcell025 aktiv_icon

14:13 Uhr, 17.10.2017

Sei

G

eine endliche Gruppe, welche transitiv auf

X

operiert. Die Ordnung von

X

sei grösser gleich 2. Nun soll gezeigt werden, dass ein Element

g

aus

G

exisitiert mit

g \cdot x

ungleich

x

für alle

x

.

Die Definition der Transitivität sagt ja aus, dass alle Elemente von

X

auf einer Bahn verbunden sind,

d . h

G \cdot x = x

für alle

x

aus X. Wie kann es denn da noch ein Element

g

mit der Ungleichheit geben?? wie kann ich das zeigen?

Vielen Dank im voraus für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:29 Uhr, 17.10.2017

Hallo,

es gilt nicht

G \cdot x = x

für alle

x

, sondern

G \cdot x = X

für alle

x

Marcell025 aktiv_icon

16:26 Uhr, 17.10.2017

Ah, das erklärt einiges! Vielen Dank!

Aber ist dann die Aussage nicht automatisch klar? Weil für jedes

x \in X

gilt doch, dass wenn es von

g

nicht auf sich selbst abgebildet(Bsp gedreht) wird, ist es ungleich sich selbst.

Oder verstehe ich die Aussage falsch?
Ein Bsp wäre praktisch..

ermanus aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.10.2017

Wir betrachten die Permutationsgruppe

S_{3}

S_{3} = {i d, (123), (132), (12), (13), (23)}

. Diese Gruppe operiert auf der
Menge

X = {1, 2, 3}

, und zwar transitiv.
Mit

g = (12)

hat man

g \cdot 1 = 2, g \cdot 2 = 1

, aber

g \cdot 3 = 3

.
Dieses

g

erfüllt also nicht die geforderte Bedingung. Dennoch gibt
es ein

g

, für das

g \cdot x \neq x

ist für alle

x \in X

,
nämlich z.B.

g = (123)

.

Nun soll gezeigt werden, dass es im Falle der Transitivität immer solch ein

g

gibt, das kein

x

fix lässt.

Gruß ermanus

ledum aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.10.2017

und warum werden nicht alle

x

auf sich selbst abgebildet ?
Gruß ledum

Marcell025 aktiv_icon

17:45 Uhr, 17.10.2017

Vielen Dank für das super Beispiel!! Das hilft mir schon enorm beim Verständnis der Aufgabe!

Für die Ausführung des Beweises würde ich intuitiv das Lemma

| G | = | G \cdot x | \cdot | G_{x} |

anwenden.
Aus der Transitivität folgt dann, dass

| X | = | G \cdot x |

und somit

| X | = \frac{| G |}{| G_{x} |}

ist. Nun fehlt mir die Idee um weiterzufahren..

ermanus aktiv_icon

18:05 Uhr, 17.10.2017

Ja, das ist schon mal nicht schlecht. Damit kann man sicher irgendwas Nützliches zusammenbauen,
aber vielleicht bist du in einer noch besseren Lage und hast in der Vorlesung ein noch weiterführenderes Lemma gehabt, nämlich das Lemma von Burnside,
das auch unter dem Namen Lemma (oder Satz) von Cauchy-Frobenius läuft.

Marcell025 aktiv_icon

18:08 Uhr, 17.10.2017

Nein, dieses Lemma ist mir leider nicht bekannt bzw. wir haben es nicht behandelt..

tobit aktiv_icon

07:39 Uhr, 18.10.2017

Hallo Marcell025!

Zu zeigen ist die Existenz eines