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transitive Relation

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Tags: Äquivalenzrelation, Relation., transitiv, Transitivität

 
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flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

14:37 Uhr, 15.11.2015

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Hallo ich habe ein Problem bei einer transitiven Relation.

Die Aufgabe sieht so aus:

Beweisen Sie folgende Aussagen.

b)R⊆XxX ist eine transitive Relation genau dann wenn R∘R⊆R
c)R⊆XxX ist genau dann eine symmetrische Relation, wenn R-1⊆R (die 1 soll hochgestellt sein, wusste nicht wie das geht...)

Also bei der Aufgabe muss man doch eine ⇔ zeigen wegen der Formulierung "genau dann wenn" oder?

zu der b) hab ich mir folgendes überlegt:

R∘R={(x,z)∈XxX∃y∈X:(x,y)∈R und (y,z)∈R}⊆R

das müsste doch nach der Definition einer Verkettung stimmen oder?

Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich weitermachen soll. Für Verbesserungen oder Hilfen wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Ginso

Ginso aktiv_icon

09:40 Uhr, 16.11.2015

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Also R∘R ist nicht zwangsläufig eine Teilmenge von R, sonst wäre die b) ja unsinnig. Nimm zb die Relation R:={(0,1),(1,2),(2,0)}, dann ist zb (0,2)∈R∘R, da (0,1),(1,2)∈R, aber (0,2)∉R.
Wie dur richtig erkannt hast musst du ⇔ zeigen. Versuch doch einfach mal beide Richtungen zu zeigen und schreib hier wie weit du gekommen bist, falls du stecken bleibst.
Ich kann dir zumindest mal den Ansatz geben:

Hinrichtung("⇒")
Angenommen, R ist transitiv. Sei (x,y)∈R∘R, (d.h. ...) zu zeigen: (x,y)∈R

Rückrichtung:
Angenommen R∘R∈R. Sei (x,y)∈R und (y,z)∈R, zu zeigen: (x,z)∈R
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