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Dreifachintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: dreifach, Integration, Zylinderkoordinaten

cian-94 aktiv_icon

17:52 Uhr, 12.03.2025

Aufgabe: berechne das dreifachintegral von

y

über dem Volumen begrenzt von

x^{2} + y^{2} = 1

x^{2} + y^{2} = 4

z = 0

z = x + 2

im ersten Oktanten

Losung:
Ich habe alles in Zylinderkoordinaten umgewandelt und gelost, allerdings passt es nicht mit der gegebnen losung zusammen und ich weis nicht wo mein Fehler liegt (Rechenweg siehe Bild)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mathadvisor aktiv_icon

18:44 Uhr, 12.03.2025

Wenn ich selbst rechne, komme ich auf

\frac{157}{24}

, ohne Gewähr, wie klingt das?
Dein Ansatz sieht richtig aus.

pwmeyer aktiv_icon

18:47 Uhr, 12.03.2025

Hallo,

Dein 2. Integral - über

sin (σ) -

ist falsch, da kommt nicht 0 heraus.

cian-94 aktiv_icon

19:10 Uhr, 12.03.2025

Hallo, ja das ist die Lösung die ich von meinem prof bekommen hab

cian-94 aktiv_icon

19:11 Uhr, 12.03.2025

ah ok danke :-)

HAL9000

10:01 Uhr, 13.03.2025

Du scheinst ja mit Zylinderkoordiaten

(ϱ, σ, z)

rechnen zu wollen. Aber dabei gehst du anscheinend von einem Volumendifferential

d V \overset{?}{=} ϱ^{2} \sin (σ) d σ d ϱ d z

aus, was von der Termstruktur entfernt an Kugelkoordinaten erinnert... Das richtige Volumendifferential für Zylinderkoordinaten ist schlicht

d V = ϱ d σ d ϱ d z

.

Nach meiner Rechnung ist das Volumen

\frac{7}{3} + \frac{3}{2} π

. Hier noch ein Bildchen des Körpers:

pwmeyer aktiv_icon

11:01 Uhr, 13.03.2025

Hallo HAL,

soweit ich den Text entziffert habe, sollte nicht das Volumen berechnet werden, sondern das Integral über

f (x, y, z) = y

Gruß pwm

Randolph Esser aktiv_icon

12:19 Uhr, 13.03.2025

\int_{1}^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{r cos (α) + 2} r^{2} sin (α) d z d α d r

= \int_{1}^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} z r^{2} sin (α) |_{z = 0}^{r cos (α) + 2} d α d r

= \int_{1}^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (r cos (α) + 2) r^{2} sin (α) d α d r

= \int_{1}^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (r^{3} cos (α) sin (α) + 2 r^{2} sin (α)) d α d r

= \int_{1}^{2} (\frac{1}{2} r^{3} {sin (α)}^{2} - 2 r^{2} cos (α)) |_{α = 0}^{\frac{π}{2}} d r

= \int_{1}^{2} (\frac{1}{2} r^{3} + 2 r^{2}) d r

= (\frac{1}{8} r^{4} + \frac{2}{3} r^{3}) |_{r = 1}^{2}

= \frac{1}{8} \cdot 16 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{1}{8} - \frac{2}{3} = \frac{20}{3} - \frac{1}{8} = \frac{160}{24} - \frac{3}{24} = \frac{157}{24}

HAL9000

12:27 Uhr, 13.03.2025

@pwmeyer

Upps, mein Fehler - hatte wohl nur quergelesen und "Volumen" erfasst.

Na wenigstens bleibt mein Bildchen, welches selbst Goldfetischist Trump erfreuen könnte. :-D)

Randolph Esser aktiv_icon

13:11 Uhr, 13.03.2025

Das Bild ist toll.
In silbergrau wäre es vielleicht noch schöner.
Und ich verstehe nicht,
warum diese eine Kante
so komisch gerendert wurde
(im Anhang blau markiert).

HAL9000

16:26 Uhr, 13.03.2025

> Und ich verstehe nicht, warum diese eine Kante so komisch gerendert wurde

Wieso komisch? Das ist eine Reflexion von einer anderen Stelle des Körpers - das Bild wurde von einem Raytracer generiert, und mit der gewählten Lichtquelle sieht das dann eben so aus.

Randolph Esser aktiv_icon

16:44 Uhr, 13.03.2025

Auf mich wirkt es fehl am Platz
- ohne fänd ich besser...

HAL9000

16:53 Uhr, 13.03.2025

Selektives Ausknipsen bestimmter Reflexionen (Vampirspiegel?), nur weil man diese aus ästhetischen Gesichtspunkten ablehnt, bietet der Raytracer nicht an. Man kann allenfalls eine andere Kameraposition wählen, wo solche Reflexionen nicht zu beobachten sind. ;-)

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