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unabhangige wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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MathFanatiker

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10:24 Uhr, 02.12.2021

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Ein dreimotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn der Hauptmotor in der Mitte ausfaellt oder beide Seitenmotoren ausfallen. Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab,wenn auf einer der beiden Seiten beide Motoren ausfallen. Für jeden Motor sei die Ausfall-wahrscheinlichkeit auf einem bestimmten Flug gegeben durch p(0,1). Außerdem nehmen wir für das Eintreten der Defekte an den einzelnen Motoren Unabhängigkeit an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein drei- bzw. viermotoriges Flugzeug auf einem bestimmten Flug durch Motorversagen abstürzt. Vergleichen Sie ferner diese beiden Wahrscheinlichkeiten f ̈ur jedes p(0,1)



Mein erster Ansatz wäre: Zwei ZufallsVariablen X3f=Ω{1,2,3} gibt die Anzahl der kaputten Motoren für Flugzeuge mit drei Motoren an und X2f=Ω{1,2,3,4} gibt die Anzahl der kaputten Motoren für Flugzeuge mit 4 Motoren an.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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supporter

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10:39 Uhr, 02.12.2021

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A= Ausfall, B= Nicht-Ausfall:

a) BAB ABA

p(1-p)2+(1-p)p2 (dreimotoriges F.)

b) AABB BBAA
p2(1-p)22 (viermotoriges F.)
MathFanatiker

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10:46 Uhr, 02.12.2021

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mich würde zu aller erst interesieren wie die zufallsvariabel aussieht hinsichtlich des Wertebereiches und was sie angibt?
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DrBoogie

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11:02 Uhr, 02.12.2021

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Eigentlich brauchst du hier keine Zufallsvariablen
MathFanatiker

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11:04 Uhr, 02.12.2021

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verstehe, aber ich würde gerne die einzelnen schritte nachvollziehen können, was der kollege oben meinte.

mein ansatz sah bishr so aus, ich habe einen grundraum,
Ω={ABA,ABB,...}, Also eine Permutation mit Wiederholung Ω=8


Weiterhin wollte ich das Ereignis Ak bilden, das beschreibt wann ein Flugzeug abstürtzt Ak={(i,j,i)Ωi!=j}

aber glaube ist kompletter nonsense
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DrBoogie

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11:18 Uhr, 02.12.2021

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"Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab,wenn auf einer der beiden Seiten beide Motoren ausfallen."

Wenn man Motoren nummeriert 1,2,3,4 und A für Ausfall und O für in Ordnung schreibt, dann hast du insgesamt 16 mögliche Ereignisse: OOOO würde z.B. für kein einziger Ausfall stehen und AOOO für den Ausfall von nur den 1. Motor.
Zum Absturz führen genau die Ereignisse AAOO, AAAO, AAOA, AAAA, OOAA,OAAA,AOAA.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für AAOO und OOAA: p2(1-p)2, weil P(A)=p und P(O)=1-P(A)=1-p. Für AAAO,AAOA,OAAA sind es p3(1-p) und für AAAA ist es p4.
Also insgesamt 2p2(1-p)2+3p3(1-p)+p4.
MathFanatiker

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11:56 Uhr, 02.12.2021

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also ist mein ansatz oben soweit korrekt ? den ich erwähhnt hatte ?


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DrBoogie

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11:59 Uhr, 02.12.2021

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Sieht soweit richtig aus. Weiß nur nicht, was du mit Permutationen meinst.
MathFanatiker

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12:03 Uhr, 02.12.2021

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Die Ausgänge ! Welche Ausgange es insgesamt gibt im Grundraum, weil wir 3 motoren haben und 2 Mäglichkeiten. Hätten wir insgesamt 8 Ausgänge
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DrBoogie

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12:05 Uhr, 02.12.2021

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Richtig. Ich würde sie nur nicht Permutationen nennen, denn wir permutieren nichts.
Es sind einfach 3-er Tupel mit jeweils 2 Möglichkeiten je Position.
MathFanatiker

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12:36 Uhr, 02.12.2021

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okay ich habe deine rechnung verstanden aber
P(A3)=P({(2,1,2),(1,2,1),(1,1,1)})=P({(2,1,2)}{(1,2,1)}{(1,1,1)})=P({(2,1,2)})+P({(1,2,1)})+P({(1,1,1)}) wobeo 1 für Ausfall steht und 2 für Ordnung. ich komme leider ab diesem punkt nicht mehr weiter. Wie komme ich von dem Ausdruck P({(2,1,2)})+P({(1,2,1)})+P({(1,1,1)}) auf den P(AAA)+P(ABA)+P(BAB)?



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HAL9000

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13:02 Uhr, 02.12.2021

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Man kann hier auch einfach über das Gegenereignis Anc gehen "Flugzeug mit n Motoren stürzt nicht ab"

a) Der Hauptmotor muss funktionieren UND mindestens einer der beiden Nebenmotoren, d.h. P(A3c)=(1-p)(1-p2), ergibt P(A3)=1-(1-p)(1-p2)=p+p2-p3

b) Auf jeder der beiden Seiten muss jeweils mindestens ein Motor funktionieren, d.h. P(A4c)=(1-p2)2, hier ist dann P(A4)=1-(1-p2)2=2p2-p4


> Also insgesamt 2p2(1p)2+3p3(1p)+p4.

Fall AOAA vergessen; mit dem ist 2p2(1p)2+4p3(1p)+p4=2p2-p4. ;-)
MathFanatiker

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13:29 Uhr, 02.12.2021

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ich glaube ich habe es gelöst :-)

zufallsvariabel für motor 1, motor 2 und für motor 3

M1,M2,M3:Ω->{0,1}
Es gilt P(M1=1)=p wobei P(M1=0)=1-p

dann müssen wir wissen wann ein flugzeug abkracht:

P(M1=1,M2=1,M3=1)+P(M1=0,M2=1,M3=0)+P(M1=1,M2=0,M3=1)

und wegen der Unabhangigkeit der Ereignisse von M1,M2,M3 erhalten wir

=p3+p2(1-p)+p(1-p)2


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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:57 Uhr, 02.12.2021

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Es fehlt
P(M1=1,M2=1,M3=0)+P(M1=0,M2=1,M3=1)
Frage beantwortet
MathFanatiker

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14:21 Uhr, 02.12.2021

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ah stimmt danke :-) aber müsste sobald alles richtig sein
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HAL9000

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15:21 Uhr, 02.12.2021

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> aber müsste sobald alles richtig sein

Wenn du jetzt den Überblick hast, was im Threadverlauf alles richtig war und was nicht, dann ist es ja gut.