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unabhangige wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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10:24 Uhr, 02.12.2021

Ein dreimotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn der Hauptmotor in der Mitte ausfaellt oder beide Seitenmotoren ausfallen. Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab,wenn auf einer der beiden Seiten beide Motoren ausfallen. Für jeden Motor sei die Ausfall-wahrscheinlichkeit auf einem bestimmten Flug gegeben durch

p \in (0, 1)

. Außerdem nehmen wir für das Eintreten der Defekte an den einzelnen Motoren Unabhängigkeit an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein drei- bzw. viermotoriges Flugzeug auf einem bestimmten Flug durch Motorversagen abstürzt. Vergleichen Sie ferner diese beiden Wahrscheinlichkeiten

f

̈ur jedes

p \in (0, 1)

Mein erster Ansatz wäre: Zwei ZufallsVariablen

X_{3} f = Ω \to {1, 2, 3}

gibt die Anzahl der kaputten Motoren für Flugzeuge mit drei Motoren an und

X_{2} f = Ω \to {1, 2, 3, 4}

gibt die Anzahl der kaputten Motoren für Flugzeuge mit 4 Motoren an.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:39 Uhr, 02.12.2021

A =

Ausfall,

B =

Nicht-Ausfall:

a)

BAB

\lor

ABA

p \cdot {(1 - p)}^{2} + (1 - p) \cdot p^{2}

(dreimotoriges

F .)

b)

AABB

\lor

BBAA

p^{2} \cdot {(1 - p)}^{2} \cdot 2

(viermotoriges

F .)

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10:46 Uhr, 02.12.2021

mich würde zu aller erst interesieren wie die zufallsvariabel aussieht hinsichtlich des Wertebereiches und was sie angibt?

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11:02 Uhr, 02.12.2021

Eigentlich brauchst du hier keine Zufallsvariablen

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11:04 Uhr, 02.12.2021

verstehe, aber ich würde gerne die einzelnen schritte nachvollziehen können, was der kollege oben meinte.

mein ansatz sah bishr so aus, ich habe einen grundraum,

Ω = {A B A, A B B, . . .}

, Also eine Permutation mit Wiederholung

∣ Ω ∣ = 8

Weiterhin wollte ich das Ereignis Ak bilden, das beschreibt wann ein Flugzeug abstürtzt

A k = {(i, j, i) \in Ω ∣ i! = j}

aber glaube ist kompletter nonsense

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11:18 Uhr, 02.12.2021

"Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab,wenn auf einer der beiden Seiten beide Motoren ausfallen."

Wenn man Motoren nummeriert 1,2,3,4 und A für Ausfall und O für in Ordnung schreibt, dann hast du insgesamt 16 mögliche Ereignisse: OOOO würde z.B. für kein einziger Ausfall stehen und AOOO für den Ausfall von nur den 1. Motor.
Zum Absturz führen genau die Ereignisse AAOO, AAAO, AAOA, AAAA, OOAA,OAAA,AOAA.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für AAOO und OOAA:

p^{2} (1 - p)^{2}

, weil

P (A) = p

und

P (O) = 1 - P (A) = 1 - p

. Für

A A A O, A A O A, O A A A

sind es

p^{3} (1 - p)

und für

A A A A

ist es

p^{4}

.
Also insgesamt

2 p^{2} (1 - p)^{2} + 3 p^{3} (1 - p) + p^{4}

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11:56 Uhr, 02.12.2021

also ist mein ansatz oben soweit korrekt ? den ich erwähhnt hatte ?

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11:59 Uhr, 02.12.2021

Sieht soweit richtig aus. Weiß nur nicht, was du mit Permutationen meinst.

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12:03 Uhr, 02.12.2021

Die Ausgänge ! Welche Ausgange es insgesamt gibt im Grundraum, weil wir 3 motoren haben und 2 Mäglichkeiten. Hätten wir insgesamt 8 Ausgänge

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12:05 Uhr, 02.12.2021

Richtig. Ich würde sie nur nicht Permutationen nennen, denn wir permutieren nichts.
Es sind einfach 3-er Tupel mit jeweils 2 Möglichkeiten je Position.

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12:36 Uhr, 02.12.2021

okay ich habe deine rechnung verstanden aber

P (A_{3}) = P ({(2, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 1, 1)}) = P ({(2, 1, 2)} \cup {(1, 2, 1)} \cup {(1, 1, 1)}) = P ({(2, 1, 2)}) + P ({(1, 2, 1)}) + P ({(1, 1, 1)})

wobeo 1 für Ausfall steht und 2 für Ordnung. ich komme leider ab diesem punkt nicht mehr weiter. Wie komme ich von dem Ausdruck

P ({(2, 1, 2)}) + P ({(1, 2, 1)}) + P ({(1, 1, 1)})

auf den

P (A A A) + P (A B A) + P (B A B) ?

HAL9000

13:02 Uhr, 02.12.2021

Man kann hier auch einfach über das Gegenereignis

A_{n}^{c}

gehen "Flugzeug mit

n

Motoren stürzt nicht ab"

a) Der Hauptmotor muss funktionieren UND mindestens einer der beiden Nebenmotoren, d.h.

P (A_{3}^{c}) = (1 - p) (1 - p^{2})

, ergibt

P (A_{3}) = 1 - (1 - p) (1 - p^{2}) = p + p^{2} - p^{3}

b) Auf jeder der beiden Seiten muss jeweils mindestens ein Motor funktionieren, d.h.

P (A_{4}^{c}) = (1 - p^{2})^{2}

, hier ist dann

P (A_{4}) = 1 - (1 - p^{2})^{2} = 2 p^{2} - p^{4}

> Also insgesamt

2 p^{2} (1 - p)^{2} + 3 p^{3} (1 - p) + p^{4}

.

Fall AOAA vergessen; mit dem ist

2 p^{2} (1 - p)^{2} + 4 p^{3} (1 - p) + p^{4} = 2 p^{2} - p^{4}

. ;-)

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13:29 Uhr, 02.12.2021

ich glaube ich habe es gelöst :-)

zufallsvariabel für motor 1, motor 2 und für motor 3

M 1, M 2, M 3 : Ω - > {0, 1}

Es gilt

P (M 1 = 1) = p

wobei

P (M 1 = 0) = 1 - p

dann müssen wir wissen wann ein flugzeug abkracht:

P (M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 1) + P (M 1 = 0, M 2 = 1, M 3 = 0) + P (M 1 = 1, M 2 = 0, M 3 = 1)

und wegen der Unabhangigkeit der Ereignisse von M1,M2,M3 erhalten wir

= p^{3} + p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2}

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13:57 Uhr, 02.12.2021

Es fehlt

P (M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 0) + P (M 1 = 0, M 2 = 1, M 3 = 1)

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14:21 Uhr, 02.12.2021

ah stimmt danke :-) aber müsste sobald alles richtig sein

HAL9000

15:21 Uhr, 02.12.2021

> aber müsste sobald alles richtig sein

Wenn du jetzt den Überblick hast, was im Threadverlauf alles richtig war und was nicht, dann ist es ja gut.

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