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unendliche Dimension eines Vektorraumes
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: unendliche Dimension, Vektorraum
 
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Hallo, ich stecke beim Beweis des folgenden Korollars fest: Gibt es für jedes ∈ (=natürliche Zahlen) linear unabhängige Vektoren ∈ so ist ∞. Meine Idee ist folgende: Seien die linear unabhängigen Vektoren ∈ mit ∈ beliebig gegeben. Angenommen sei ein Erzeugendensystem von dann bilden die Vektoren eine Basis von V. Laut Definition ist die Dimension von die Länge der Basis, in diesem Fall . Da ich beliebig gesetzt habe, kann nicht endlich erzeugt sein und daher muss gelten ∞. Ich weiß, dass sowohl die Beweisidee und somit auch die Schlussfolgerungen nicht stimmen, doch kann mir da jemand von euch weiterhelfen?? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, am einfachsten arbeitet man hier mit der Annahme, dass für jedes linear unabhängige Vektoren existieren und die Dimension nicht unendlich, also . gleich ist. Dann findet man in leicht verschiedene linear unabhängige Vektoren und jede elemntige Teilmenge von Vektoren ist linear abhängig. Das würde aber bedeuten, dass man für keine linear unabhängige Vektoren findet und das ist ein Widerspruch zur Annahme. Unsere Annahme besteht aus zwei Teilen, dem vorgegebenen, der ist also erfüllt, . der Fehler muss im zweiten Teil der Annahme stecken, dass die Dimension endlich und gleich ist. |
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Ein Korollar zu welchem Satz ? Und Bumerang : wenn der Beweis für dieses Korollar mehr als 2 Zeilen hat ist er sicher nicht der einfachste. |
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