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unendliche reihen
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 6. Klassenstufe
Tags: Unendliche Reihe
 
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Die Seiten eines Quadrats Q₁ mit der Seitenlänge a₁ werden im Verhältnis geteilt. Die Teilungspunkte sind die Eckpunkte eines zweiten Quadrats Q₂, dessen Seitenlängen ebenfalls im gleichen Verhältnis geteilt werden, sodass ein weiteres Quadrat Q₃ entsteht. Dieser Vorgang wird unendlich oft wiederholt. 1. Berechne die Summe der Umfänge von Q₁ bis Q₁₂. 2. Berechne die Summe aller Umfänge. 3. Argumentiere, warum das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Flächeninhalte ¹⁶⁹⁄₂₈₉ ist. Berechne anschließend die Summe aller Flächeninhalte. Es geht mir hier nur um 1 und 2. Ich habe angenommen hat eine Seitenlänge von 17LE. Laut Lösung ist das Ergebnis aber . . Ich komme aber nicht auf das Ergebnis. Es könnte die Lösung auch falsch sein aber ich möchte mich absichern. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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> Ich habe angenommen hat eine Seitenlänge von 17LE. Warum nimmst du sowas an? Zum einen steht in der Aufgabenstellung klar und deutlich "Die Seiten eines Quadrats mit der Seitenlänge ." Da gibt es nichts anderweitiges anzunehmen... Zum anderen ist das angegebene Ergebnis die durchaus richtige Antwort zu Teilaufgabe 1, d.h. der Summe der Umfanglängen von bis .  |
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Wie kommt man vom Verhältnis auf ? Ich komme von auf bzw. oder wie oder was ? |
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Wie kann man nur so überheblich antworten . und btw. hatte ich mit meiner Annahme recht das die Seitenlänge von 17LE ist. |
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@Randolph Esser Stichwort Pythagoras |
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Ah, Danke, Aufgabenstellung nicht richtig gelesen. Ich dachte, das fache der vorigen sei immer die jeweils nächste Seite. Ja nö, dann ist es nun klarerweise das - fache. Mann, bin ich blöd, beängstigend ! Für Marcel ist der Umfang des ten Quadrates und dessen Fläche. Damit ergibt sich sowie und die Lösungen zu und unter Nutzung der geometrischen Reihe bzw. ihrer Partialsummen. Und nein, hat nicht die explizite Seitenlänge sondern (was aber auch irgendwas anderes sein kann)... |
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Zur Verdeutlichung hatte ich ja eine (mit PyPlot generierte) Skizze beigefügt. Wenn es in der so aussieht, als wäre das Quadrat wieder achsenparallel zu , so ist das eine optische Täuschung: Es ist , d.h. es ist rund ein halbes Grad Abweichung von dieser scheinbaren Achsenparallelität festzustellen. ;-) |
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Interessant... Ein schönes pythagoreisches Tripel ist auch . Man könnte die Aufgabe auch damit aufziehen (Verhältnis und hätte dann als die Summe aller Umfänge für . Man könnte auch untersuchen, ob es ein pythagoreisches Tripel gibt, für das in der Figur tatsächlich parallele Quadrate vorkommen. Ich behaupte kühn: Nein. |
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Damit hast du Recht. Ich hatte irgendwann mal eine Arbeit gelesen (kann mich aktuell leider weder an Titel noch Autor erinnern), wo sauber bewiesen wurde, dass es keine rationale Zahl gibt, so dass sowohl als auch rational sind. Die Erfüllung der Forderung im letzten Nebensatz bedeutet ja (auf einen gemeinsamen Nenner gebracht), dass es positive ganze Zahlen gibt mit und , was ja impliziert, was den Zusammenhang zu den Pythagoräischen Tripeln herstellt. Ich würde sogar noch einen Schritt weiter gehen: Für kein Teilungsverhältnis mit kann man eine solche Achsenparallelität feststellen, d.h. es gibt auch für wo keine Quadratzahl ist keine solchen Winkel , die rationale Vielfache von sind. |
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Sehr interessant... |
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en.wikipedia.org/wiki/Niven%27s_theorem : For rational values of [...] the only rational values of the tangent or cotangent are and . |
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Für die 6. Klasse finde ich die Aufgabe aber recht schwer. Mich würde mal interessieren, wieso MarcelH sich damit beschäftigt. Aber wenn er abspringt, kann man auch nichts erklären... |
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> Für die 6. Klasse finde ich die Aufgabe aber recht schwer. MarcelH kommt aus Österreich (weswegen er wohl auch so ausgesprochen höflich ist), die zählen die Klassen der Sekundarstufe anders. ;-) |
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Ach so, und Note 6 ist 1. Ich hatte mal ne französische Geschichtslehrerin, die war auch toll. In den Klausuren gab es dann Punkte usw. Einmal hab ich ne Klausur nicht so gut geschrieben, weil ich den Operator "ordnen sie ein" (die Ereignisse zwischen oder so) zu mathematisch verstanden habe und ihr der Text zu kurz war, na ja... Vielleicht kehrt MarcelH ja nochmal zurück so wir ihm helfen können... |
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