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unfairer Münzwurf?

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Münzwurf, unfair, Wahrscheinlichkeitsmaß

kai22 aktiv_icon

11:45 Uhr, 17.08.2013

Hallo,

erst mal zu der Beschreibung, diese lautet:
#
Wir werfen eine Münze, bis zum ersten Mal Kopf fällt.
Sei

p \in (0,1)

die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf Kopf fällt
und bezeichne

X

die Anzahl von Würfen, bei denen Zahl fällt.
#

Es soll ein unfairer Münzwurf sein, verstehe aber bei der Aufgabenstellung nicht, was mit

p \in (0,1)

gemeint ist. Denn von unfair sehe ich da so nichts.
Kann mir das jemand erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matheboss aktiv_icon

13:04 Uhr, 17.08.2013

p \in [0; 1]

soll doch angeben, dass die Wahrscheinlichkeit (Axiom von Komolgerow)

0 \leq p \leq 1

(Die Grenzen 0 und 1 würde ich bei dieser Aufgabe auch herausnehmen, denn ich kann mir keine Münze vorstellen, die immer auf Kopf oder nie Kopf zeigt)
Da es ein unfairer Wurf sein soll, müsste

p \neq 0,5

sein.

Wenn wir n-mal werfen und aufhören, wenn 1xKopf, ist

P (X = n - 1) = {(1 - p)}^{n - 1} \cdot p^{1}

kai22 aktiv_icon

19:32 Uhr, 17.08.2013

Habe mal angefagen, das Berechnen der Varianz fehlt noch.

a .)

Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Experiment an. (+Begründung)

b .)

Definieren Sie die Zufallsgröße X.

c .)

Definieren Sie die Verteilung von

X,

in dem Sie die Wahrscheinlichkeiten

P {X = k}

für alle relevanten

k

angeben.

d .)

Geben Sie Erwartungswert und Varianz von

X

an.

a .)

n =

Anzahl Würfe

p \in {0,1} \Rightarrow 0 \leq p \leq 1

Ω = {k,! k}

1 = P (K \cup! K) = P (K) + P (! K) = P (Ω)

Es kann Kopf

(K)

oder

(! K)

eintreffen. Beide Ereignisse
sind unveineinbar und beinhalten zusammen nach dem
2. Kolmogorow-Axiom eine Wahrscheinlichkeit von 1.

\Rightarrow P (! K) = 1 - P (K)

b .)

X_{i} \Rightarrow

Erg.

d

. i-ten Wurfs

c .)

k

entspricht

n

P (X = n) = {(1 - p_{K})}^{n - 1} \cdot p_{K}

d .)

Erwert existiert da unendliches Ergebnis

E [X] = \sum_{n = 1}^{\infty} n {(1 - p_{K})}^{n - 1} p_{K}

= p_{K} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{d x} x^{n} |_{x = 1 - p}

= p_{K} \frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} |_{x = 1 - p}

= p_{K} \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x}) |_{x = 1 - p}

= p_{K} (\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}) |_{x = 1 - p} = \frac{1}{p}

Varianz:
Var(X)

= E [{(X - E (X))}^{2}] =

\sum_{n \in X (Ω)}^{\infty} {(n - E [X])}^{2} P (X = n)

Ist dies

\frac{1 - p}{p^{2}}

für geometrisch verteilte Zufallsgrößen? Allerdings auf die Berechnung komme ich nicht.

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