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ungewöhnlicher Laplace-Würfel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Tags: Augenzahl, ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Prozent, würfeln

Triokon aktiv_icon

16:24 Uhr, 22.06.2009

Hallo allesamt.

Ich muss bis morgen in Mathematik eine sehr wichtige Aufgabe lösen, da ich mit größter Warscheinlichkeit darüber ausgefragt werde.
Leider bin ich in Mathe ein eher hoffnungsloser Kandidat... ;-)

So lautet die Aufgabe:

Ein ungewöhnlicher Laplace-Würfel ist mit folgenden Augenzahlen versehen:
In grüner Farbe:

1; 2; 3; 4;

in roter Farbe:

1; 2

.
Dieser Würfel liegt allen folgenden Aufgaben zugrunde.

1. Der Würfel wird viermal nacheinander geworfen und nur die Augenzahl notiert, die Farbe wird also nicht berücksichtigt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A :=

"Es werden nur gleiche Zahlen gewürfelt",

B :=

"Es werden nur verschiedene Zahlen gewürfelt".

2. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

90 %

mindestens einmal eine rote Augenzahl zu erhalten?

Nun bin ich leider immer etwas überfordert, wie man an solche Aufgaben rangeht. ( Mittlerweile hatten wir auch 4 Wochen kein Mathe mehr, und man vergisst halt gern Sachen, welche einem kaum interessieren :-D) )
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe mit Rat und Tat beistehen würdet. Wie löse ich solche Aufgaben? Ein kleiner Lösungsweg wär natürlich der absolute Hammer :-)

Bitte helft mir, es geht nach einer blamablen Klausurnote um die 5 Punkte Grenze :-)

MfG Triokon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Leuchtturm aktiv_icon

16:28 Uhr, 22.06.2009

Na komm schon, die Wahrscheinlichkeit von vier Einsen hintereinander wirst du doch noch hinkriegen. Wenn du dafür eine Rechnung reinschreibst, geht es auch weiter...
Tipp: p(Eins)

= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Triokon aktiv_icon

16:36 Uhr, 22.06.2009

Für mich wären

z . B

. 4 mal hintereinander 1 würfeln die Warscheinlichkeit:

{(\frac{2}{6})}^{4}

Bloß irgendwas fehlt da doch, oder? ;-) Bin grad am Durchstöbern meines Skriptes, aber ist gar nicht so einfach bei so viel Zeugs, was man aufgeschrieben hat. :-)

Leuchtturm aktiv_icon

16:42 Uhr, 22.06.2009

Jetzt noch die Wahrscheinlichkeit für 4 "Zweien" hinzuzählen, dann die Wahrscheinlichkeit für 4 "Dreien" und die für 4 "Vieren". Fertig Aufgabe

1 A

Triokon aktiv_icon

16:51 Uhr, 22.06.2009

Ok, also:

{(\frac{2}{6})}^{4} + {(\frac{2}{6})}^{4} + {(\frac{1}{6})}^{4} + {(\frac{1}{6})}^{4}

Hab ich das so richtig verstanden? Werds mal eben ausrechnen.
Und schonmal vielen Dank Leuchtturm, lieb von dir ;-)

Noch ein bisschen Unterstützung bei den restlichen 2 (Teil-)Aufgaben wär natürlich noch genialer :-)

Leuchtturm aktiv_icon

16:52 Uhr, 22.06.2009

Ja, gib Gas.

Triokon aktiv_icon

16:57 Uhr, 22.06.2009

Ok, ich bekomm

0,026234 ... . .

. raus....

Also:

2,6 %

Geh mal davon aus, ich hab mich nicht verrechnet.

So, mal überlegen, wie geh ich nun an die andere Teilaufgabe ran.... *grübelt*

Triokon aktiv_icon

17:01 Uhr, 22.06.2009

Ok, also mein Denkansatz ist nun:

Ich muss ja

1; 2; 3; 4

würfeln.

Also:

(\frac{2}{6}) \cdot (\frac{2}{6}) \cdot (\frac{1}{6}) \cdot (\frac{1}{6})

Aber stimmt das wirklich schon so? Da fehlt doch was, oder?

HP7289 aktiv_icon

17:27 Uhr, 22.06.2009

Richtig! Du musst das Ergebnis mit der Anzahl aller möglichen Reihenfolgen multiplizieren.

Triokon aktiv_icon

17:35 Uhr, 22.06.2009

Wenn ich das also richtig verstanden habe:

((\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{6}) \cdot (\frac{1}{6})) \cdot {(4)}^{4}

Zumindest ist

4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4

laut Zählprinzip die Anzahl der möglichen Reihenfolgen.... Oder verhau ich da was? Weil da würden ja ca.

79 %

rauskommen... Ist das realitsisch oder hab ich das alles falsch verstanden?

Mfg Triokon

PS: Dir auch schonmal danke, HP :-)

HP7289 aktiv_icon

18:05 Uhr, 22.06.2009

Die Zahl, die beim ersten Wurf kommt, darf beim zweiten Wurf natürlich nicht nochmal kommen. Das musst du berücksichtigen.

Triokon aktiv_icon

18:10 Uhr, 22.06.2009

Hm, Augenblick. Jetzt hast du mich erwischt? Was genau meinst du damit? Berücksichtige ich das mit

4^{4}

nicht schon? Immerhin ist es doch egal, wie ich die einzelnen Glieder eines Produktes hin und herschiebe. Es kommt doch immer das selbe raus.
Kannst du bitte noch ein bisschen genauer darauf eingehen, bzw. es mir an dem beispiel etwas erklären.

Danke schonmal ;-)

HP7289 aktiv_icon

18:13 Uhr, 22.06.2009

4^{4}

sind wirklich ALLE Möglichkeiten, die es gibt. Du musst aber alle Möglichkeiten nehmen, so dass 4 unterschiedliche Zahlen rauskommen.

Beim ersten Wurf können alle 4 Zahlen kommen.

Beim zweiten Wurf darf sich die erste Zahl nicht wiederholen.

Also

4 \cdot 3

.

Der dritte Wurf darf weder die Augenzahl des ersten noch die des zweiten zeigen. Dafür bleiben also noch 2 Möglichkeiten.

4 \cdot 3 \cdot 2

Wenn du drei Mail gewürfelt hast, dann ist die 4. Zahl festgelegt.

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Triokon aktiv_icon

18:18 Uhr, 22.06.2009

Ah, natürlich, du hast Recht. Ich stand wirklich aufm Schlauch.

Danke für die ausführliche Erklärung :-)

Triokon aktiv_icon

18:22 Uhr, 22.06.2009

So, nun hab ich leider wirklich ein Problem.

Denn bei Aufgabe 2 weiß ich überhaupt nicht, wie ich anfangen soll.
Hier ist nochmal die Frage:

"Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

90 %

mindestens einmal eine rote Augenzahl zu erhalten?"

Hat jemand noch einige helfende Worte für mich? :-)

MfG Triokon

HP7289 aktiv_icon

18:53 Uhr, 22.06.2009

Die Wahrscheinlichkeit, nach

n

Würfen immer grün zu würfeln, ist:

{(\frac{2}{3})}^{n}

Also ist die Wahrscheinlichkeit, nach

n

Würfen mind. ein Mal rot zu würfeln:

1 - {(\frac{2}{3})}^{n}

Die soll größer als

90 %

sein:

1 - {(\frac{2}{3})}^{n} > 0.9

Das musst du jetzt nach

n

auflösen.

Triokon aktiv_icon

19:06 Uhr, 22.06.2009

Vielen, Vielen lieben Dank. Du warst mein Retter in der Not.
Nun ist die Aufgabe auch für mich kein Problem mehr :-)

MfG Triokon

Die Frage ist für mich nun beantwortet. Danke nochmal an Euch 2 :-D)

Leuchtturm aktiv_icon

19:07 Uhr, 22.06.2009

@HP7289

Bist du dir da sicher?

Ich komme auf