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universelle Eigenschaft der Abelisierung

Lehrer

Tags: Abelisierung, Algebra, Gruppen

michaL aktiv_icon

14:19 Uhr, 04.08.2021

Hallo miteinander,

kürzlich war noch eine Frage im Raum, in der es um die universelle Eigenschaft der Abelisierung ging. Leider ist die Frage gelöscht worden, während ich gerade eine Lösung erarbeitet habe.
Es ging wohl um den Aufgabenteil d) (Bild anbei).

Die Situation kann zusammen wie folgt dargestellt werden (2. Bild).

Ich bin in der Bezeichnung von

α *

und

f *

abgewichen, damit die Zuordnung deutlicher wird.

Insbesondere kann man in den Diagrammen von c) bzw d) für

A

die abelschen Gruppen

H

mit Homomorphismus

ψ

bzw.

G^{ab}

mit Homomorphismus

π

einsetzen.

Insbesondere ergibt sich daraus, dass

π^{*} \circ ψ^{*} \circ π^{*} = π^{*}

, d.h.

π^{*} \circ ψ^{*} (π^{*} (x)) = π^{*} (x)

für alle

y := π^{*} (x) \in Im (π^{*})

.

Da mit

π = π^{*} \circ ψ

auch

π^{*}

surjektiv ist, gilt

Im (π^{*}) = G^{ab}

.

Insbesondere gilt also

π^{*} \circ ψ^{*} (y) = y

für alle

y \in G^{ab}

.

Auf diese Weise lässt sich zumindest eine Einbettung von

G^{ab}

H

beweisen.

Für die Umkehrung lande ich immer wieder dabei, dass die Abbildung

ψ

surjektiv sein muss, damit die Behauptung gilt. (Ein Gegenbeispiel habe ich aber noch nicht gesucht.)

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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