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universelle Eigenschaft des Quotienten
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Quoutient, universell
 
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Hallo, wir haben die universelle Eigenschaft folgendermaßen definiert. ein Quotient i) ii) für jeden Gruppenhomorphismus mit gibt es eindeutigen Gruppenhomorphismus mit Nun habe ich in einem Satz stehen, dass ein Quotient eindeutig bis auf eindeutige Isomorphismen ist. Falls also , Quotienten für , dann gibt es eindeutige Isomorphismen , Der Beweis im Skript benutzt hier die beiden universellen Eigenschaft, dennoch habe ich nicht wirklich das Gefühl es hier verstanden zu haben. Wenn ich beispielsweise und , so habe ich automatisch, die von i) und ii) geforderten Eigenschaften. Falls ich noch hinzufüge, so ist es auch ein Quotient, mit wie auch für .Nun soll es dann ein Isomorphismus zwischen und geben falls ? |
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Hallo, ich denke, dass deine Definition des Quotienten so nicht richtig ist. Man muss doch ein Paar vorgeben, nämlich eine Gruppe und einen Normalteiler . Dann heißt ein Gruppenhomomorphismus Quotient zu , wenn i) und ii) gilt. Dass unendlich viele nichtisomorphe Quotienten besitzt, ist ja klar. Aber die Quotienten zu z.B. sind alle isomorph. Gruß ermanus |
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Hallo ermanus, nach unserem Skript ist ein Quotient für eine Gruppe mit einem Homorphismus . und den beiden Informationen aus i) und ii). Aus diesen folgt ja lediglich, dass seien muss. Zu , wird doch nach den Vorausetzungen sowohl , wie auch eine Gruppe seien. Eine Abbildung von nach oder erfüllt die Bedingung bzw . Soll hier der Isomorphismus von nach , der Form usw. seien? |
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Es gibt doch garkeinen Isomorphismus von nach , sonst hätten ja beide Quotientengruppen gleichviele Elemente. Es gibt nur einen surjektiven Homom. von auf : . |
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ist der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Quotient zum Normalteiler und der Gruppe , entsprechend ist der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Quotient zum Normalteiler und der Gruppe . Ist es so vielleicht klarer? liegt zwar im Kern von , liegt aber nicht im Kern von ! Daher faktorisiert durch , aber nicht umgekehrt. |
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Hallo, dass meine Antwort wenig Sinn macht, habe ich mir irgendwo schon gedacht. Die unteren beiden Bedingungen die du angibst verwenden bereits, wie ein Quotient konstruiert werden soll , was auch später im Skript kommt, wo gesetzt wird. Jedoch erkenne ich persöhnlich gerade nicht den Widerspruch zu den Bedingungen i) und ii) in meinem Beispiel, da ja nicht die Rede von ist, sondern zunächst lediglich gefordert wird. Ich übersehe mit Sicherheit etwas hier, aber ich verstehe nicht wo genau hier mein Denkfehler liegt. |
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In dem universellen Problem wird nicht nach einem gesucht, so dass ist, sondern ist bei diesem Problem vorgegeben und das universelle Objekt, was man sucht, ist , so dass i) und ii) gilt. So herum funktioniert die Logik. Die Konstruktion der Faktorgruppe und Angabe des kanonischen Epimorphismus zeigt, dass das universlle Problem eine Lösung hat. Also vielleicht nochmal die Formulierung des universellen Problems: Sei ein Normalteiler einer Gruppe , dann wird gesucht ein Gruppenhomomorphismus , so dass i) und ii) .... gilt. Gibt es zu vorgegebenem und ein solches Objekt, so nennen wir dies einen "Quotienten". Die Konstruktion der Faktorgruppen beweist nun, dass das uiverselle Problem immer lösbar ist, wobei dann der kanonische Epimorphismus gerade der Quotient ist. |
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Hallo, danke für die große Geduld, und das du mich darauf hingewiesen hast, dass mein Gedankgengang nicht richtig ist. Habe zumindest das Gefühl, diese Quotientenabbildung nachdem ich zweite Definition nochmals durchgegangen bin, weit aus besser verstanden zu haben. |
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