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universelle Überlagerung
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Ich hätte noch eine Frage: Wie kann ich im Allgemeinen eine universelle Überlagerung sprich eine einfach zusammenhängende Überlagerung konstruieren? Mit einfach zusammenhängend meine ich eine Überlagerung mit trivialer Fundamentalgruppe? Beispielsweise von der Vereinigung einer 2-Sphäre mit einer 1-Sphäre, die die 2-Sphäre in 2 Punkten schneidet? Gibt es dazu ein Rezept? Ich habe nämlich versucht die allgemeine Konstruktion von universellen Überlagerungen, wie wir es in der Vorlesung behandelt haben nachzuvollziehen, bin aber leider hoffnungslos gescheitert und jetzt wäre ich froh, mir könnte das jemand vielleicht etwas einfacher erklären. Vielen Dank schon im Voraus. |
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Nun, dazu sollte man am besten die Fundamentalgruppe kennen, damit man eine Ahnung bekommt, was auf einen zukommt. . ist das hier die frei erzeugte Gruppe mit zwei Erzeugern, oder? Seien A und die Schnittpunkte deiner und . Sei die freie Gruppe mit zwei Erzeugern und . Wir besorgen uns abzählbar viele nämlich zu jedem eine, die wir nennen, zusammen mit einer Isomorphie mit er gegebenen Sphäre. Dadurch finden wir auf die Punkte und . Jetzt verbinden wir jeweils den Punk mit dem Punkt und wählen einen Homöomorphismus dieser Kurve mit dem im Inneren der verlaufenden Verbindungsbogen von A nach B. Ferner verbinden wir mit und wählen einen Homöomorphismus dieser Kurve mit dem außerhalb der verlaufenden Verbindungsbogen von A nach B. All diese Sphären und Verbindungskurven bilden unseren Überlagerungsraum und all diese zusammen bilden eine Überlagerungsabbildung . Es liegt nur an der Unhandlichkeit von dass so kompliziert aussieht. Im Prinzip sind das lauter Sphären mit vier dünnen "Ärmchen" (je zwei aus dem Punkt und zwei aus sprießend), über die sie mit (jeweils unterschiedlichen) weiteren solchen bearmten Sphären verbunden sind. |
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