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unstetige R-integrierbare Funnktion

Universität / Fachhochschule

12:32 Uhr, 21.02.2019

Hallo

ich suche eine Funktion

f : [0,1] \to ℝ

die Unendlich viele Unstettigkeiten hat aber trotzdem R-Integrierbar ist. (Tipp: Ich soll eine geeignete Folge von Zahlen

x_{n}

wählen wo

f

unstetig ist, dazwischen aber konstant.

Ich hätte anfangs an die Dirichlet-Funktion gedacht, aber die ist eben mal nicht R-Integrierbar.

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

12:46 Uhr, 21.02.2019

Hallo
nimm eine integrierbarer fit wie etwa

\frac{1}{x^{2}}

und die darunter liegende Treppenfunktion mit

f

T (x) = f (n)

für

x \in [n, n + 1)

dann hast du unendlich viele Unstetigkeitsstellen ?
Gruß ledum

13:55 Uhr, 21.02.2019

Danke für die rasche Antwort,
Blöde Frage: Wie schreib ich eine solche Treppenfunktion am besten an. Also wie definiere ich das am besten

LG

16:03 Uhr, 21.02.2019

Nimm beispielsweise

f (x) = \frac{1}{⌊ \frac{1}{x} ⌋}

für

0 < x \leq 1

sowie

f (0) = 0

.

Dann hat

f

die abzählbar unendlich vielen Unstetigkeitsstellen

x_{n} = \frac{1}{n}

für

n = 2, 3, \dots

in diesem Intervall

[0, 1]

, und es ist

\int_{0}^{1} f (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{x_{n + 1}}^{x_{n}} f (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} \frac{1}{n} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n (n + 1)}) d x = \frac{π^{2}}{6} - 1

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