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unterbestimmtes LGS lösen?

Schüler Gymnasium,

Tags: unterbestimmtes gleichungssystem

Jana203 aktiv_icon

12:01 Uhr, 15.04.2013

Hallo,

ich habe ein Problem und zwar habe ich keine Ahnung wie man ein unterbestimmtes LGS löst. Ich brauche das im Zusammenhang mit der Matrizenrechnung. Bei Austauschprozessen hat man ja eine Gesamtzahl, deshalb habe ich immer eine Gleichung hinzugefügt und dann meinen Taschenrechner rechnen lassen. Das rächt sich jetzt bei der Population, da man da ja keine Gesamtzahl hat.
Das Gleichungssystem sieht so aus:

- x 1 + 6 x 3 = 0

\frac{1}{2} x 1 - x 2 = 0

\frac{1}{3} x 2 - x 3 = 0

Meine erste Frage: Wieso ist das überhaupt unterbestimmt? Es gibt genauso viele Variablen wie Gleichungen.

Meine zweite Frage: Wie löst man das? Ich habe gehört, dass man

z . B x 3

durch

t

ersetzt und das dann löst, aber ich weiß weder was das bringt und wie man damit rechnet.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Liebe Grüße Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Eva88 aktiv_icon

12:06 Uhr, 15.04.2013

Wieso unterbestimmt?

Du hast 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Jana203 aktiv_icon

12:07 Uhr, 15.04.2013

Das habe ich mich auch gefragt, aber das steht im Buch und der Taschenrechner kann das nicht rechnen...

Eva88 aktiv_icon

12:11 Uhr, 15.04.2013

Kommt

x = y = z = 0

raus.

Jana203 aktiv_icon

12:18 Uhr, 15.04.2013

Ein Freund von mir, der das leider auch nicht lösen kann, hat gesagt, dass es sich um ein homogenes LGS handelt. Was auch immer das heißt.

Nur wenn da tatsächlich null rauskommt, ist das im Sachzusammenhang sehr unlogisch. Dann müsste es null Eier, null Larven und null Käfer geben, damit eine stabile Verteilung eintritt?

Werner-Salomon aktiv_icon

12:20 Uhr, 15.04.2013

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da die Determinante der Matrix=0 ist. Oder - um es mit anderen Worten zu beschreiben - multipliziere die zweite Gleichung mit 2 addiere sie zur ersten Gleichung und teile das Ergebnis durch 6. Dann erhält man die dritte Gleichung.
D.h. die dritte Gleichung ist gar keinen neue Information, die zur Lösung der drei Unbekannten beitragen kann. Die dritte Gleichung ist bereits über die anderen beiden gegeben.

Die Lösung x1=0, x2=0 und x3=0 ist nur eine von unendlich vielen.
x1=6, x2=3 und x3=1 (und jedes Vielfache davon) wäre auch eine Lösung.

@Jana: erzählst Du uns bitte, was es mit 'Austauschprozess' und 'Gesamtzahl' auf sich hat.

Gruß
Werner

Eva88 aktiv_icon

12:20 Uhr, 15.04.2013

Setz doch mal die Nullen ein, dann siehst du es. Wahrscheinlich ist der Fehler beim übertragen als LGS aufgetreten.

Jana203 aktiv_icon

12:31 Uhr, 15.04.2013

Danke, ich habe jetzt verstanden, warum es unterbestimmt ist. :-)

Ich verstehe immer noch nicht, was ich dann als stabile Verteilung angeben soll, und wie man auf die Zahlen kommt. Gibt es da eine Rechnung mit einem Parameter?

Also ich meine damit:
Wenn man beispielsweise die Matrix

U = (\begin{matrix} 0,7 & 0,4 \\ 0,3 & 0,6 \end{matrix})

gegeben hat und die stabile Verteilung der Kinobesucher berechnen soll, habe ich eine Gleichung zusätzlich aufgestellt. Da es sich um einen Austauschprozess handelt, bleibt die Gesamtbesucherzahl ja immer gleich, sie wechseln nur die Kinos. Bei diesem Beispiel ging es um

350

Besucher. Deshalb habe ich als dritter Gleichzng angenommen:

x 1 + x 2 = 350

Dann habe ich das in den LK Taschenrechner eingegeben und das Ergebins war

x 1 = 200

und

x 2 = 150

.

LG

Werner-Salomon aktiv_icon

12:41 Uhr, 15.04.2013

schwierig zu beantworten (meine Glaskugel ist gerade in Reparatur ;-) ), da Du uns noch nicht verraten hast, wie die eigentliche Aufgabenstellung lautet und was es mit Käfern, Kinobesuchern und Austauschprozessen auf sich hat.

Grundsätzlich kannst Du ein einfach(!) unterbestimmtes homogenes LGS immer lösen, in dem Du eine der Variablen auf 1 setzt, eine Zeile entfernst und den Rest löst, so wie Du es gewohnt bist.
Die Lösungsmenge besteht dann aus allen Vielfache Deiner gefundenen nicht trivialen Lösung.

Gruß
Werner

Eva88 aktiv_icon

12:47 Uhr, 15.04.2013

Stell doch mal die Maikäfer Aufgabe rein.

Jana203 aktiv_icon

12:58 Uhr, 15.04.2013

Dann verrate ich mal die streng geheime Aufgaben :-P)

Die Kunden zweier Kinos A und

B

wechseln wie folgt von Besuch zu Besuch:

70 %

der Besucher von A kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen ins Kino B.

30 %

der Besucher von

B

kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen ins Kino A.

a)

Stellen Sie die Übergangsmatrix für diesen Prozess auf.

\to U = (\begin{matrix} 0,7 & 0,4 \\ 0,3 & 0,6 \end{matrix})

b)

Im Kino A sind gerade

50

Besucher, in

B 60

Besucher. Wie verteilen sich diese Besucher beim nächsten Mal, bzw. nach fünfmaligem Wechsel auf beide Kinos?

\to U \cdot (\begin{matrix} 50 \\ 60 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 59 \\ 51 \end{matrix})

\to U^{5} \cdot (\begin{matrix} 50 \\ 60 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 62,83 \\ 47,17 \end{matrix})

c)

Bestimmen sie eine Gleichgewichtsverteilung von

350

Besuchern.

\to U \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Umschreiben ins LGS und Hinzufügen der zusätzlichen Bedingung

x_{1} + x_{2} = 350

Danach in den tollen Taschenrechner eingeben, die stabile Verteilung ist

x_{1} = 200

und

x_{2} = 150

.

Wie man bei

c)

sieht, wähle ich den unkompliziertesten Weg, wo man am wenigsten rechnen muss. ;-)

Bei der Aufgabe wo ich hänge geht das aber nicht:
Eine Population vom Aussterben bedrohter Käfer entwickelt sich nach dem abgebildeten Übergangsdiagramm.

a)

Geben Sie die Übergangsmatrix an.

\to U = (\begin{matrix} 0 & 0 & 6 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{matrix})

b)

egal, zu viel zu tippen :-D)

c)

Gibt es eine Startpopulation, bei der sich die Anzahl der Individuen innerhalb der einzelnen Entwicklungsstufen nicht verändert?

\to

stabile Verteilung bestimmen

U \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

Dann das LGS ausstellen und umformen:

- x_{1} + 6 x_{3} = 0

\frac{1}{2} x_{1} - x_{2} = 0

\frac{1}{3} x_{2} - x_{3} = 0

Dann weiß ich einfach nicht weiter, wie ich die genau bestimmen soll... Ich hoffe ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt, sodass Du gar keine Glaskugel mehr brauchst ;-)

prodomo aktiv_icon

13:38 Uhr, 15.04.2013

Wenn es eine Startpopulation gibt, die sich nicht verändert, dann tut das auch eine doppelt so große nicht, weil das natürlich für jede Hälfte gilt. Noch mehr, es gilt auch für das Dreifache, usw.
Insofern macht es keinen Sinn, absolute Zahlen für die Startpopulation anzugeben, sondern nur das Verhältnis der Anteile an Käfern, Larven und Puppen.
Das Gleichungssystem lässt sich schreiben als

x_{1} = 6 \cdot x_{3}

und

x_{1} = 2 \cdot x_{2}

. Damit ist jedes Vielfache von

(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

Lösung. Anschaulicher könnte man sagen, dass sich die Anteile an der Startpopulation zu

60 %, 30 %

und

10 %

aufteilen müssen.

Jana203 aktiv_icon

16:50 Uhr, 16.04.2013

Danke für deine Antwort!

Ich verstehe leider nicht wie man den Parameter

t

einsetzt. Grundsätzlich ist die Lösung logisch, aber man muss ja auch

x_{3}

dann in Abhängigkeit von dem Parameter angeben. Wie geht das?

LG

Werner-Salomon aktiv_icon

17:13 Uhr, 16.04.2013

Hallo Jana,

im allgemeinen Fall genau so, wie ich es schon in meinem Beitrag '12:41 Uhr, 15.04.2013' beschrieben habe.
Du setzt eine der Unbekannten =1 und löst den Rest. Jedes Vielfache der Lösung (

* t

) ist wieder eine Lösung.

Was verstehst Du da genau nicht?

Gruß
Werner

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