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untere Dreiecksmatrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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anonymous 16:08 Uhr, 17.01.2010  |
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Hallo Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Sei in GL(n,K). Ich soll zeigen, dass A genau dann eine untere Dreiecksmatrix ist, wenn eine untere Dreiecksmatrix ist. In diesem Fall soll ich die Elemente auf der Hauptdiagonalen von bestimmen. Zum ersten Teil: Ich habe mir gedacht es so zu zeigen: Ich nehme eine untere Dreiecksmatrix bel. und invertiere diese. Dann müsst A herauskommen, die auch eine untere Dreiecksmatrix ist. Jedoch weiß ich nicht wie ich das so allgemein machen soll. Und geht das überhaupt so? Zum zweiten Teil: Da weiß ich nicht genau wie ich das machen soll. LG Nicole Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Nicole, ich denke, dass der Nachweis am einfachsten über Vektoren funktioniert. D.h. stelle die Spalten einer unteren Dreiecksmatrix als Vektoren dar. (Schreiben kann ich das hier aufgrund der rudimentären TeX-Unterstützung nicht gut, aber vielleicht weißt du auch so, was ich meine.) Stelle die von als Zeilen dar. Gehe dabei für von einer unteren Dreiecksmatrix aus, d.h. in der -ten Spalte sind alle Einträge bis gleich Null (nicht weiter, sonst ist die Matrix NICHT invertierbar). Dann reicht es, wenn du als -te Zeile von einen Vektor hast, bei dem ebenfalls bis zur -ten Stelle Nullen auftreten. Der Rest darf mit Sternen gefüllt sein. Sind die Spaltenvektoren von durch gegeben und die Zeilenvektoren von durch , so sind die Einträge von durch die Skalarprodukte gegeben. Du musst dann zeigen, dass: # ist. Daraus gewinnst du übrigens auch eine Formel für die Diagonaleinträge von # für Darin besteht eigentlich der Beweis für eine der beiden Implikationen. Die Umkehrung entspricht wegen aber genau der gleichen Implikation. Mfg Michael |
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anonymous 21:49 Uhr, 18.01.2010 |
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"Sind die Spaltenvektoren von A durch a1,…,an gegeben und die Zeilenvektoren von durch b1,…,bn, so sind die Einträge von A-1⋅A durch die Skalarprodukte bi*aj gegeben. Du musst dann zeigen, dass:
# bi*ai≠0 ist. Daraus gewinnst du übrigens auch eine Formel für die Diagonaleinträge von # bi*aj=0 für i≠j" Den Teil habe ich nicht verstanden.Wenn ich berechne, muss doch die Einheitsmatrix herauskommen, oder? Aber ich muss ja zeigen, dass dann auch eine untere Dreiecksmatrix ist. |
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anonymous 22:13 Uhr, 18.01.2010 |
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Es wäre lieb, wenn du mir das noch mal ausführlicher erklären könntest. Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch |
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Hab's mir gerade nich so genau durchgelesen, aber ich denke mal Michael meinte, dass du erstmal annehmen sollst, dass und untere Dreiecksmatrizen sind - und dann eben zeigen, dass . Das wäre, so wie ich das sehe, die erste Hälfte des Beweises. mfg |
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