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Untergruppen-Beweis
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Untergruppen
 
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Hallo ihr, ich kann folgende Übungsaufgabe nicht ohne Hilfe lösen. * = Schnittmenge H und K seien Untergruppen der endlichen Gruppe G. Dann ist auch H * K eine Untergruppe (warum?). Zeigen Sie: Im Fall ggT (|H|, |K|) = 1 gilt |H * K| = 1 . Bitte helft mir, ihr seid meine letzte Hoffnung. Benni M. |
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Hallo Benni, seien also H und K Untergruppen der endlichen Gruppe G, dann ist e (neutrales Element von G) sowohl in H wie auch in K, sonst wären diese Mengen keine Untergruppen von G. Sind a, b aus H * K, dann sind a, b aus H, also auch ab^(-1) aus H (Untergruppe!) und sie sind aus K, also auch ab^(-1) aus K (Untergruppe!); damit ist ab^(-1) aus H * K, wodurch H * K selbst zur Untergruppe von G wird. Nun kannst Du H und K als eigenständige Gruppen mit jeweils endlicher Ordnung auffassen. H * K ist sowohl Untergruppe von H wie auch von K und es gilt: ord(H * K) teilt ord(H) und ord(H * K) teilt ord(K). Damit ist ord(H * K) gemeinsamer Teiler von ord(H) und ord(K) und muss somit gleich 1 sein, da die Ordnungen von H und K nach Voraussetzung teilerfremd sind. Gruß Rentnerin |
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Vielen Dank liebe Rentnerin, Der Satz von Lagrange. Das habe ich total vergessen. |
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