Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » untervektorraum?

untervektorraum?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

denyo aktiv_icon

21:46 Uhr, 12.12.2010

hallo! ich habe hier folgende frage:
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
Vektorraums der Abbildungen von IR nach IR?
1.

U 1 = {f :

\to

IR|f(x) = f(−x),

x

element IR

}

U 2 = {f :

\to

IR|f(x) = −f(−x),

x

element IR

}

U 3 = {f :

\to

IR|f(0)

= 0}

U 4 = {f :

\to

IR|f(7)

= 7}

ich verstehe den begriff untervektorraum nicht so ganz. wenn ich jetzt bei 1. schaue und 0 einsetze gilt es .. für alle anderen zahlen aus

R

nur, wenn es zb eine quadratische gleichung ist. ist es jetzt ein untervektorraum?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

aleph-math aktiv_icon

22:03 Uhr, 12.12.2010

über der Frage steht am Schirm "Es wird gerade geantwortet"; schau' ma', wer zuerst fertig wird... ;-)

Je nachdem, ob nur die Ziel(=Bild)menge o. (auch) die Orig.menge betrachtet wird, würde ich sagen:
a) die Zielmengen in c) u. d) sind eindeutig Untermengen von IR, folgl. geht f in einen Untervektorraum;
b) die Orig.menge IR_ (nur reelle Werte <0) ist in allen Fällen eine Untermenge von IR, folgl. geht f schon von einem Untervektorraum aus.

Gutes Gelingen! -GA

denyo aktiv_icon

22:12 Uhr, 12.12.2010

also... meinst du mit

c)

und

d) 3

. und

4 .

. .

. wenn ja sind ja untervektorraume da beides aus

R

und beides auch wahre aussagen oder?
was du mit

b)

die Orig.menge IR_ (nur reelle Werte

< 0)

ist in allen Fällen eine Untermenge von IR, folgl. geht

f

schon von einem Untervektorraum aus.

ist mir nicht ganz klar?!? hier ist doch

x

aus ganz

R

nicht nur

< 0

? warum geht dann

f

von einem untervektorraum aus?

PSlay aktiv_icon

13:34 Uhr, 13.12.2010

Hallo denyo!

Du musst dafür nur die 3 Untervektorraumaxiome durchprüfen.

Hier ist relativ offensichtlich, dass

U 1

bis

U 4

Teilmengen des Raumes der Abbildungen von

R \to R

sind.

Dann musst du nurnoch zeigen
1. Dein Unterraum

U

ist nicht leer (meistens ist es am einfachsten zu zeigen, dass die 0 drin liegt)
2. Dass du 2 Elemente aus

U

Addieren kannst und du immernoch in

U

bist
3. Dass du ein Körperelement nehmen kannst (überleg mal gut, was hier dein Körper ist) das du mit einem beliebigen Element aus

U

multiplizieren kannst und du trotzdem noch in

U

landest.

denyo aktiv_icon

13:43 Uhr, 13.12.2010

. .

. also hab ich das so richtig verstanden? anhand

f (x) = f (- x) . .

.
1.

f (0) = f (- 0) w . A

.
2. wenn ich jetzt zwei elemente aus

U

nehme... also irgendwelche

x

element

R

2, - 3

dann:

f (- 1) = f (- - 1)

ist doch schon nicht richtig?
3. hier mit 1 multiplizieren

ist das verfehlt oder gehts in die richtige richtung?

PSlay aktiv_icon

14:06 Uhr, 13.12.2010

Nicht ganz. :-) Du musst das für beliebige elemente machen.

den 1. punkt solltest du auf jeden fall noch etwas begründen.
zum 2. du nimmst dir 2 beliebige elemente aus

U 1,

das sind allerdings funktionen.
du sagst also

seien

g (x), h (x)

element

U 1

\Rightarrow g (x) = g (- x)

und

h (x) = h (- x)

\Rightarrow g (x) + h (x) = g (- x) + h (- x)

\Rightarrow g (x) + h (x)

ist element

U 1

.

für den körper musst du auch ein beliebiges element nehmen und nicht nur die 1.

denyo aktiv_icon

14:38 Uhr, 13.12.2010

...sehe ich das richtig das durch

g (x) = g (- x)

vorausgesetzt wird das es gleich ist für alle

x

aus R?... und man daher schlussfolgern kann das

g (x) + h (x) = g (- x) + h (- x)

gilt?

zu 3. also wenn ich ein beliebiges element nehme zb.

a :

- \to a \cdot f (x) = a \cdot f (- x)

(kann man das einfach so behaupten?)

- \to a \cdot f (x)

ist element

U 1

hab ich jetzt mal nach der logik mit dem beispiel der addition gemacht(zumindest so wie ich es verstanden habe:-) )

aleph-math aktiv_icon

04:57 Uhr, 15.12.2010

G.Morgen!

Sorry, war zuletzt recht beschäftigt...;-(

Ja, mit c), d) meine ich die Mengen/Räume in 3) & 4).

"«.. die Orig.menge IR_ (nur reelle Werte <0) ist in allen Fällen eine Untermenge von IR, folgl. geht f schon von einem Untervektorraum aus.» ist mir nicht ganz klar?!? "

Das ist vmtl. ein Missverständnis; bei mir wird folg. angezeigt: "f: IR- -> IR ..", also vor dem Pfeil noch ein Minus. Das hab ich mit der Menge (jetzt als Formel)

R_{_}

, also der neg., reellen Zahlen interpretiert. Wenn das Minus nur eine Verläng. des Pfeils ist, gilt meine Aussage nat. nicht. BTW, dazu gibt's ja den LATEX (Formel)- editor, dass solche Missverst. (wenn's ein's war) vermieden werden...

@"PSL..": Ja, ich bin auch gerne genau, aber ist die usprüng. Frage nicht einfach die, ob der Raum U_i ein Unterraum ist ist? Darauf würde m.E. die Antwort "ja" o. "nein" genügend; von Begründung ist in der Aufg. nicht die Rede. Die kann/soll man höchst. für sich machen.

Und genügt für dieses "ja/nein" nicht einfach die Feststellg., ob der zugrundelieg. Körper eine Untermenge des urspr. Körpers ist? Ein Unterkörper erzeugt doch zwangslf. einen Unterraum, o. nicht? Unterkörper liegen in allen Fällen vor. Bei U1 ist die Abb./Fkt. seitensymm. zur y-Achse (hat also nur posit. o. neg. Werte, zB. Parabel), der Bildraum ist also ein Teilraum/-menge, u. bei U2 ist es so ähnl. (allerd. punktsymm. zum Ursprung, also nur Werte im I u. III o. II u. IV. Quadrant).

Schöne Grüsse!

PSlay aktiv_icon

10:59 Uhr, 15.12.2010

Hallo!

Also meiner Meinung nach gehört zu allem,was keine Multiplechoice Aufgabe ist ein Beweis.

>>>"Und genügt für dieses "ja/nein" nicht einfach die Feststellg., ob der zugrundelieg. Körper eine Untermenge des urspr. Körpers ist? "

Nein. Erstmal reden wir Über Vektorräume (die über einem Körper) und deren Unterräume. Der Körper liefert in dem Fall erstmal nur die Skalare.
Vektorräume sind über Axiome definiert, wobei man bei einem Unterraum nur 3 Axiome Prüfen muss. (Die ich oben aufgeschrieben habe)

Dadurch entsteht zum Beispiel der Irrtum, dass

U 4

ein Unterraum ist:
Er erfüllt würde ich eher sagen KEIN EINZIGES kriterium für einen Unterraum, außer, dass er eine Teilmenge des Vektorraumes ist.

Er hat zum Beispiel keine "0" drin, und schau dir mal als Beispiel die Funktion

g (x) = x

an.
Offensichtlich gilt dafür:

g (7) = 7;

somit ist

g \in U 4

.
ABER

g (x) + g (x) = 2 x = (g + g) (x)

. Und dann gilt

(g + g) (7) = 14;

somit ist

(g + g)

nicht in

U 4

.
Also ist der Unterraum nicht abgeschlossen bzgl der Addition.

Ist das nun ein wenig klarer geworden?
Und darf ich mal Fragen woher du den Begriff "Unterraum" "Körper" "Vektorraum" kennst? :-)

Liebe Grüße

PSlay aktiv_icon

11:12 Uhr, 15.12.2010

huch, und nocheinmal :-)
Ja, das kommt dem ganzen schon näher, denyo.
Das wichtige ist, dass du immer nur genau das benutzt was du gegeben hast.
hier wäre das "f(x)=f(-x)" und du willst aber zeigen, dass du

f

einfach mit einem

a \in K

multiplizieren kannst ohne, dass du aus dem Raum heraus kommst.
das kommt dir jetzt vielleicht etwas kleinkariert vor, wie ich das aufschreibe, aber:

(a \cdot f) (x) = a \cdot (f (x)) = a \cdot (f (- x)) = (a \cdot f) (- x) \Rightarrow a \cdot f \in U

Weil du das erste und das dritte "=" nur haben darfst, weil du in einer teilmenge von einem vektorraum bist. Das 2. darfst du nur, wegen der oben gegebenen regel für den unterraum.

ich hoffe das ist etwas verständlicher :-).
sag mal, brauchst du das für die schule?

denyo aktiv_icon

16:25 Uhr, 15.12.2010

Nein... ist eine wöchentliche Übung für eine Grundlagenvorlesung der Linearen Algebra.
...Je kleinkarierter desto besser für mich da mir das Grundverständnis fehlt:-)...

@ aleph-math:
...ja war ein missverständnis.. ich korrigier das mal

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

833383

832532

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?