Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vektorraum aller rationaler Folgen überabzählbar

Vektorraum aller rationaler Folgen überabzählbar

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Abzählbarkeit, Folgen, Vektorraum

Michi1337 aktiv_icon

21:53 Uhr, 24.04.2018

Hallo,

ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe:

Zeigen Sie:

a) Der Vektorraum

ℚ^{ℕ}

aller rationalen Folgen ist überabzählbar.

b) Der Vektorraum

ℚ^{(ℕ)}

aller abbrechenden rationalen Folgen ist abzählbar.

Kann ich die Aufgabe beweisen, indem ich mit dem zweiten Diagonalargument von Cantor argumentiere bzw. falls nicht, wie durch welchen Ansatz kann ich diese Aussagen beweisen?

Ich bin über jede Idee / Hilfe dankbar.

Grüße
Michi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:58 Uhr, 24.04.2018

"Kann ich die Aufgabe beweisen, indem ich mit dem zweiten Diagonalargument von Cantor argumentiere "

Ja. Vermutlich geht es auch nur so.

Michi1337 aktiv_icon

22:02 Uhr, 24.04.2018

Ok. Vielen Dank für deine Antwort. Mein Ansatz bei Teilaufgabe b) wäre, dass man ebenso eine neue Folge erzeugt, jedoch nur solange diagonal die gegebenen Folgen "runtergeht", bis noch Elemente

\neq 0

kommen und man somit eine Folge erhalten kann, welche noch "unter" den anderen Folgen ist, aus denen man die neue Folge erzeugt hat.

Macht dieser Ansatz Sinn?

Grüße
Michi

DrBoogie aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.04.2018

UPDATE.
Ach so, Du meintest b).
Dann verstehe ich noch weniger. Du musst doch die Folgen abzählen.

Michi1337 aktiv_icon

22:10 Uhr, 24.04.2018

Bei Teilaufgabe b) soll ich ja zeigen, dass der Vektorraum abzählbar ist. Mit

\neq 0

meine ich: Bei einer abbrechenden Folge sind ja ab einem bestimmten Index alle Elemente

= 0

Michi1337 aktiv_icon

22:12 Uhr, 24.04.2018

Soll ich dann einfach die Folgen diagonal notieren, wie beim Beweis, dass

ℚ

abzählbar ist oder soll ich eine abzählbare Basis des Vektorraums angeben?

DrBoogie aktiv_icon

22:15 Uhr, 24.04.2018

"Soll ich dann einfach die Folgen diagonal notieren, wie beim Beweis, dass ℚ abzählbar ist"

Ja.

"oder soll ich eine abzählbare Basis des Vektorraums angeben?"

Nein. Nach Basis hat doch niemand gefragt.

ermanus aktiv_icon

23:17 Uhr, 24.04.2018

Hallo,
zu a):
wenn man weiß, dass die Potenzmenge

P (ℕ)

von

ℕ

überabzählbar ist, so folgt

P (ℕ) ≅ {0, 1}^{ℕ} \subset ℚ^{ℕ},

wobei "

≅

" das Vorhandensein einer Bijektion bedeutet.
Gruß ermanus

Michi1337 aktiv_icon

23:32 Uhr, 24.04.2018

Mir ist nicht ganz klar, aus welchem Grund die Potenzmenge isomorph zu

{0, 1}^{ℕ}

ist. Wäre dankbar, wenn du mir das kurz erklären könntest.

ermanus aktiv_icon

23:41 Uhr, 24.04.2018

Die Bijektion ist folgende:

f : P (ℕ) \to {0, 1}^{ℕ}, M \mapsto χ_{M}

,
dabei ist

χ_{M}

die Indikatorfunktion von

M

, die so definiert ist:

χ_{M} : ℕ \to {0, 1}, χ_{M} (x) = 1

, wenn

x \in M

χ_{M} (x) = 0

, wenn

x \notin M

ermanus aktiv_icon

09:40 Uhr, 25.04.2018

Eine Bemerkung zu b):
Vielleicht wird die Sache handlicher, wenn du folgendes bedenkst:

ℚ ≅ ℕ \Rightarrow ℚ^{(ℕ)} ≅ ℕ^{(ℕ)}

.
Es reicht also, eine Abzählung für

ℕ^{(ℕ)}

zu konstruieren.
Vielleicht findest du aber auch eine injektive Abbildung

ℕ^{(ℕ)} \to ℕ

.
Damit wäre ja dann ja auch die Abzählbarkeit von

ℕ^{(ℕ)}

gezeigt.

Michi1337 aktiv_icon

10:22 Uhr, 25.04.2018

Ist es kein Problem, dass N kein Körper ist?

DrBoogie aktiv_icon

10:33 Uhr, 25.04.2018

Überhaupt nicht, hier geht es sowieso nur um Mengen, den die Frage der Abzählbarkeit bezieht sich nur auf Mengen.

Michi1337 aktiv_icon

13:30 Uhr, 25.04.2018

Wäre eine injektive Abbildung von

ℕ^{(ℕ)} \to ℕ

dann folgende?

a_{i} \mapsto a_{i} + 10 (i - 1)

Ich denke, dass diese Abbildung fast sicher keinen Sinn macht.

Mein Gedanke wäre dabei gewesen, dass z.B die Folge (1,2,3,0,...) auf 1 + 2 + 10 * (2 -1) + 3 + 10 * (3 - 1) = 36 abgebildet wird.

Wir haben noch nicht wirklich was mit Folgen explizit gemacht, also bitte ich zu entschuldigen, falls das keinen Sinn macht, was ich das schreibe.

Grüße
Michi

DrBoogie aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.04.2018

UPDATE. Das war ganz falsch. :(

DrBoogie aktiv_icon

13:40 Uhr, 25.04.2018

1. Schritt.
Zeige, dass natürliche Folgen der fixen Länge

k

abzählbar sind.
2. Schritt.
Liste in der ersten Zeile alle Folgen der Länge 1,
in der zweiten Zeile alle Folgen der Länge 2 usw.

Die so entstandene unendliche Tabelle ist offensichtlich

ℕ^{(ℕ)}

.
Und man zählt sie wie Cantor ab: von oben links im Zickzack-Kurs, wie hier gezeigt:
de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
Diese Abzählung ist eine Bijektion zwischen

ℕ^{(ℕ)}

und

ℕ

ermanus aktiv_icon

16:58 Uhr, 25.04.2018

Nachdem DrBoogie dir die Abzählmethode so schön rübergebracht hat,
möchte ich noch auf Möglichkeiten, eine injektive Abbildung

ℕ^{(ℕ)} \to ℕ

zu basteln, hinweisen:

Sei

p_{0} < p_{1} < p_{2} < \dots

die aufsteigende Folge der Primzahlen.
Ein Element

(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, 0, 0, \dots) \in ℕ^{(ℕ)}

bilden wir ab auf

p_{0}^{a_{0}} p_{1}^{a_{1}} \dots p_{n}^{a_{n}} \in ℕ

.
Diese Abbildung ist injektiv. Warum wohl ???
Man bekommt auf diese Weise sogar eine Bijektion auf

ℕ \ {0}

.

Eine zweite Möglichkeit, die ein bisschen deiner verunglückten Idee von
13:30 Uhr nahekommt, liefere ich in einem späteren Post.

ermanus aktiv_icon

21:45 Uhr, 25.04.2018

Nun kommt noch eine andere Bastelei:
Sei wieder

a = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, 0, 0, \dots) \in ℕ^{(ℕ)} .

Dann basteln wir aus dem

a

auf folgende injektive Weise eine natürliche Zahl:
man schreibe jede der

a_{i} (i \leq n)

im Zehnersystem ohne führende Nullen hin.
Dadurch bekommt man für jedes

a_{i}

eine Zeichenkette (ein Wort).
Für ein

a_{i} = 0

entsteht so das leere Wort.
Nun klebe man an den Anfang der Wörter

a_{0}

bis

a_{n}

jeweils
die "Ziffer"

A

(

= 10

), so erhält man die um ein Zeichen verlängerten
Wörter

A a_{0}, \dots, A a_{n}

. Diese klebe man aneinander zu einer einzigen
Zeichenkette

A a_{0} A a_{1} \dots A a_{n}

.
Diese Zeichenkette lese man als Zahldarstellung einer natürlichen Zahl im
11-er-System.
Hier ein Beispiel:

a = (11, 121, 0, 4711, 0, 0, \dots)

wird zu

A 11 A 121 A A 471 1_{11}

.
Da die Ziffern in der 11-adischen Darstellung natürlicher Zahlen
eindeutig festgelegt sind, ist diese "algorithmisch" vorgestellte
Abbildung injektiv.

Michi1337 aktiv_icon

21:49 Uhr, 25.04.2018

Vielen Dank für eure Antworten. Ich habe es nun so gemacht:

Zu zeigen:

ℚ^{(ℕ)}

ist abzählbar.

Beweis: Da

ℕ ≅ ℚ

ist

ℕ^{(ℕ)} ≅ ℚ^{(ℕ)}

, reicht es zu zeigen, dass

ℕ^{(ℕ)}

abzählbar ist.

Nun kann man alle abbrechenden Folgen aus

ℕ^{(ℕ)}

anordnen:

a11 a12 a13 a14 ...
a21 a22 a23 a24 ...
.
.

In der ersten Zeile sind alle Folgen, die nach einem Glied abbrechen. In der zweiten Zeile sind alle Folgen, die nach dem zweiten Glied abbrechen etc.

Man kann nun diese Folgen wie beim ersten Diagonalargument von Cantor abzählen und erhält dadurch eine Bijektion nach

ℕ

.

Somit wurde gezeigt, dass

ℚ^{(ℕ)}

abzählbar ist.

Mach diese Argumentation Sinn?

Grüße
Michi

ermanus aktiv_icon

22:18 Uhr, 25.04.2018

Ja, macht sie.
Sichheitshalber solltest du noch den Leser darauf hinweisen, dass
z.B. unter

a 23

keine natürliche Zahl, sondern eine Folge natürlicher
Zahlen der Länge 2 gemeint ist, die in deiner Abzählung der Folgen der
Länge 2 die Nummer 3 bekommen hat.

Michi1337 aktiv_icon

22:19 Uhr, 25.04.2018

Vielen Dank für deine / eure Bemühungen!

ermanus aktiv_icon

22:49 Uhr, 25.04.2018

Kleiner Nachklapp:
Ich hoffe, du hast nicht vergessen, anzugeben (zu begründen),
dass die Folgen der Länge k jeweils eine abzählbare Menge bilden für jedes k > 1.
Das war der erste Punkt bei DrBoogies Vorgehensplan.

1423943

1423758

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?