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vektorraumhomomorphismus

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

guguli aktiv_icon

20:56 Uhr, 08.05.2014

Hallo zusammen , kann mir einer beim Lösen dieser Aufgabe Helfen??
Es seien ein Körper K, ein k-Vektorraumhomomorphismus

φ : V \to W

ein

n \in N_{0}

und ein n-Tuppel

(s_{1}, . . ., s_{n})

in V gegeben. zeigen Sie wenn

(φ (s_{1}), . . ., φ (s_{n}))

lin. unabh. in W ist dann ist

(s_{1}, . . ., s_{n})

lin. unabh. in V.

THX

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

23:55 Uhr, 08.05.2014

Sei

a_{1} s_{1} + . . . + a_{n} s_{n}

eine lineare Kombination, welche

0

ergibt, also

a_{1} s_{1} + . . . + a_{n} s_{n} = 0

.
Wenden auf sie

φ

an:

φ (a_{1} s_{1} + . . . + a_{n} s_{n}) = φ (0) = > a_{1} φ (s_{1}) + . . . + a_{n} φ (s_{n}) = 0

, weil

φ

lineare Abbildung ist.
Da aber

φ (s_{1}), . . ., φ (s_{n})

linear unabhängig sind, folgt

a_{1} = . . . a_{n} = 0

.
Damit ist auch

s_{1}, . . ., s_{n}

linear unabhängig, denn wir haben gezeigt:

a_{1} s_{1} + . . . + a_{n} s_{n} = 0 = > a_{1} = . . . = a_{n} = 0

guguli aktiv_icon

11:59 Uhr, 09.05.2014

Das heisst, es reicht hier wenn wir die Verträglichkeit der Nullvektoren zu zeigen. Die verträglichkeit der Skalarmultiplikation und Addition ist für uns uninteressant.

THX

DrBoogie aktiv_icon

12:01 Uhr, 09.05.2014

Doch, Addition und Multiplikation mit einem Skalar wird beim Übergang

φ (a_{1} s_{1} + . . . + a_{n} s_{n}) = a_{1} φ (s_{1}) + . . . + a_{n} φ (s_{n})

benutzt.

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