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vektorzerlegung

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angewandte lineare Algebra

Skalarprodukte

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Skalarprodukt

janinchen60 aktiv_icon

18:17 Uhr, 15.03.2010

der vektor

(1,1, - 1)

soll in zwei komponenten zerlegt werden wobei die eine komponente parallel zu dem vektor

(1,0,1)

sein soll und die andere komponente senkrecht zum vektor

(3,1,1)

.

bitte um schnelle hilfe, danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

21:41 Uhr, 15.03.2010

Hallo Janina,

zuerst ein Literaturhinweis: senkrechte Projektion (als Stichwort), etwa bei: www.oberprima.com/index.php/herleitung-formel-senkrechte-projektion-eines-vektors/nachhilfe

Dort findest du eine Formel (inklusive Herleitung).

Reicht das schon, oder brauchst du mehr Hilfe?

Mfg Michael

janinchen60 aktiv_icon

08:47 Uhr, 16.03.2010

he danke, aber ehrlich gesagt hab ich schon probleme beim zerlegen des vektors oder besser gesagt ich kann es garnicht und finde auch keine hilfe in meinem buch.

CKims aktiv_icon

13:50 Uhr, 16.03.2010

wir suchen einen vektor

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}),

der senkrecht ist zu

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

. diese beiden vektoren liegen senkrecht zueinander wenn das skalarprodukt null ergibt, also

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0

3 x + y + z = 0

drei unbekannte und eine gleichung, das bedeutet wir koennen uns zwei variablen frei waehlen

z . B

x

und

y

. dann ist

z

bestimmt durch

z = - 3 x - y

unser gesuchter vektor lautet also

(\begin{matrix} x \\ y \\ - 3 x - y \end{matrix})

soo...

ein vektor, der parallel ist zu

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}),

ist einfach ein vielfaches dieses vektors. das mit dem senkrechten vektor addiert soll ja unsere

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

ergeben, also

a \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x \\ y \\ - 3 x - y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} a \\ 0 \\ a \end{matrix}) + (\begin{matrix} x \\ y \\ - 3 x - y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

das ergibt dann ein gleichungssystem mit

a + x = 1

0 + y = 1

a - 3 x - y = - 1

also ist

y = 1

und dritte gleichung minus der ersten ergibt

- 4 x - y = - 2

da das

y

einsetzen

- 4 x - 1 = - 2

- 4 x = - 1

x = \frac{1}{4}

damit ist unser

z

z = - 3 x - y = - 3 \cdot \frac{1}{4} - 1 = - \frac{7}{4}

und unser a ist

a + x = 1

x

einsetzen

a + \frac{1}{4} = 1

a = \frac{3}{4}

unserendergebnis lautet also

\frac{3}{4} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ - \frac{7}{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

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