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verallgemeinerung der Isomorphiesätze auf Ringe

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Homomorphismus, Ideal, Isomorphiesatz, Ring, Unterring

freed aktiv_icon

14:51 Uhr, 19.08.2010

Hey!

Verallgemeinerung der Isomorphiesätze von Gruppen auf Ringe.

Sei $R$ Ein Ring, $H \subset R$ ein Unterring und $α \subset R$ ein Ideal.
Dann ist $H α$ Unterring in $R$ mit Ideal $α$ und $H \cap α$ ist Ideal von H.
Der kanonische Homomorphismus $H / H \cap α \to H α / α$ ist ein Isomorphismus.

Beweis:
1. $H α$ ist ein Unterring. ?? Wie sieht der Ring denn aus?
2. Betrachte den Homomorphismus $H \to H α \to H α / α$ mit $π : H α \to H α / α$

Ist das so zu verstehen, dass das Diagramm wie folgt aussieht:
$φ : H α \to H$
$π : H α \to H α / α$
$\bar{φ} : H α / α \to H$
mit $φ = \bar{φ} \circ π$

denn dann folgt weiter: $π$ ist kan. Projektion $\to$ surjektiv
somit gilt: Kern $π = H \cap α$
$H \cap α$ ist ein Ideal in $H$
Der induzierte Homomorphismus $H / H \cap α \to H α / α$ müsste surjektiv sein. wieso?
Denn dann folgt: $H α / α$ ist kanonisch isomorph zu $H / H \cap α$ ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

21:03 Uhr, 19.08.2010

Ich bin der Meinung, es müsste eher $H + α$ statt $H α$ auftauchen.

freed aktiv_icon

11:09 Uhr, 20.08.2010

ok, kann gut sein. ich habe den satz selber auf ringe umgeschrieben.

Hey!

Verallgemeinerung der Isomorphiesätze von Gruppen auf Ringe.

Sei $R$ Ein Ring, $H \subset R$ ein Unterring und $α \subset R$ ein Ideal.
Dann ist $H + α$ Unterring in $R$ mit Ideal $α$ und $H \cap α$ ist Ideal von H.
Der kanonische Homomorphismus $H / H \cap α \to H + α / α$ ist ein Isomorphismus.

Beweis:
1. $H + α$ ist ein Unterring. Wie sieht der Ring überhaupt aus?
2. Betrachte den Homomorphismus $H \to H + α \to H + α / α$ mit $π : H + α \to H + α / α$
Bei mir im BUch steht geht bei dem 1. Pfeil noch son Bogen nach oben. Was bedeutet der Pfeil dann?

Ist das so zu verstehen, dass das Diagramm (beim Homomorphiesatz) wie folgt aussieht:
$φ : H + α \to H$
$π : H + α \to H + α / α$
$\bar{φ} : H + α / α \to H$
mit $φ = \bar{φ} \circ π$

denn dann folgt weiter: $π$ ist kan. Projektion $\to$ surjektiv
somit gilt: Kern $π = H \cap α$
$H \cap α$ ist ein Ideal in $H$
Der induzierte Homomorphismus $H / H \cap α \to H + α / α$ müsste surjektiv sein. wieso ist dersurjektiv? wegen dem Kern?
Denn dann folgt: $H + α / α$ ist kanonisch isomorph zu $H / H \cap α$ ??

hagman aktiv_icon

21:30 Uhr, 20.08.2010

$H + α$ ist ein Ring, weil:
$H + α$ ist additiv Untergruppe von $R$ (weil beide Normalteiler, weil abelsch)
Aus $h_{1} + a_{1}, h_{2} + a_{2} \in H + α$ folgt $(h_{1} + a_{1}) \cdot (h_{2} + a_{2}) = h_{!} h_{2} + h_{1} a_{2} + a_{1} h_{2} + a_{1} a_{2}$ . Der erste Summand ist in $H,$ die übrigen sind in $α,$ weil dieses ein (beidseitiges9 Ideal ist. Also liegt auch das Produkt in $H + α$ .

Der Pfeil, dessen linkes Ende nach oben gebogen ist soll bedeuten, dass die Abbildung injektiv (gerne auch: durch die Mengeninklusion gegeben) ist, man denke es sich zusammengesetzt aus $\subset \to$ . Das Gegenstück mit der Bedeutung surjektiv hat rechts eine Doppelspitze.

Dass $H \to (H + α) / α$ zumindest für die additive Gruppe ein Isomorphismus ist, ergibt sich aus dem Isomorphiesatz für Gruppen.
Der Rest folgt, weil ein Ringhomomorphismus, der additiv ein Gruppenisomorphismus ist, automatisch ein Ringisomorphismus ist.

freed aktiv_icon

12:48 Uhr, 23.08.2010

wieso ist ein Ringhomomorphismus,der additiv ein Gruppenisomorphismus ist, automatisch ein Ringisomorphismus?
außerdem geht es doch um den Homomorphismus:
$H / (H \cap α) \to (H + α) / α$
und nicht um:
$H \to (H + α) / α$ ??

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