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vereinigung zweier Gebiete ist Gebiet, wenn...

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

 
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Schurli

Schurli aktiv_icon

21:14 Uhr, 19.04.2015

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Zeige, dass die Vereinigung zweier Gebiete genau dann ein Gebiet, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.


Ich weiß, dass ein Gebiet eine nichtleere offene zusammenhängende Teilmenge von den komplexen Zahlen ist. Aber ich verstehe nicht, wie ich einbauen soll, dass es nur einen gemeinsamen Punkt gibt. Wir haben nur die Zusammenhangsdefinition gelernt und nicht die Wegzusammenhangsdefinition.

Sieht Jemand einen Ausweg?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.04.2015

Antworten
"Wir haben nur die Zusammenhangsdefinition gelernt und nicht die Wegzusammenhangsdefinition."

Im enddimensionalen Fall ist es dasselbe.

Aber es geht auch einfach mit der Zusammenhangsdefinition.
Seien A und B die Gebiete und x ihr gemeinsame Punkt. Wenn A∪B=O1∪O2 - disjunkte Vereinigung zwei offener Menge, dann gilt A=(A∩O1)∪(A∩O2) und B=(B∩O1)∪(B∩O2) - beide Vereinigungen disjunkt. Da A, B zusammenhängend sind, muss (A∩O1) oder (A∩O2) leer sein und genauso (B∩O1) oder (B∩O2). Wenn x in O1 liegt, dann kann A∩O1 und B∩O2 nicht leer sein, daher sind A∩O2 und B∩O2 leer, also (A∪B)∩O2=∅. Analog im Fall x in O1. Damit gezeigt, dass A∪B zusammenhängend ist.


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