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verschachtelte Betragsgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsgleichung, doppelt

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21:53 Uhr, 07.11.2010

guten abend zusammen.

wie löse ich am geschicktesten folgende gleichung auf?

| | 3 - 2 x | - 1 | = | 2 x |

i . d . r

. quadriere ich da beide seiten, jedoch funzt das hier irgendwie nicht, da ich die inneren betragszeichen nicht wegbekomme
(|3-2x|-1)² = (2x)²
Die Fallunterschedung versuche ich möglichst zu vermeiden :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

21:35 Uhr, 09.11.2010

| | 3 - 2 x | - 1 | = | 2 x |

Fall +++

((3 - 2 x) - 1) = (2 x)

2 - 2 x = 2 x

2 = 4 x

x = \ f r a c {1} 2

Fall -++

(- (3 - 2 x) - 1) = (2 x)

- 3 + 2 x - 1 = 2 x

- 4 = 0

Fall +-+

- ((3 - 2 x) - 1) = (2 x)

- (2 - 2 x) = (2 x)

- 2 + 2 x = (2 x)

- 2 = 0

Fall --+

- (- (3 - 2 x) - 1) = (2 x)

- (- 3 + 2 x - 1) = (2 x)

- (- 4 + 2 x) = (2 x)

4 - 2 x = 2 x

4 = 4 x

x = 1

Fall -+-

(- (3 - 2 x) - 1) = - (2 x)

- 3 + 2 x - 1 = - 2 x

- 4 = - 4 x

x = 1

Fall +--

- ((3 - 2 x) - 1) = - (2 x)

- (2 - 2 x) = - (2 x)

- 2 + 2 x = - 2 x

- 2 = - 4 x

zwei Fälle braucht man sich nicht mehr anschauen

und jetzt nur noch checken unter welchen Bedingungen die Fälle gelten, die ein mögliches Ergebnis enthalten.

schkaff aktiv_icon

00:14 Uhr, 10.11.2010

hey danke erstmal für die mühe!

hab jedoch nochmal ne frage:

a)

nach schema

f

müsste ich ja alle beträge mit wechseldem vorzeichen auflisten.

das wären dann mit deiner schreibweise

1) + + +

2) - + +

3) - - +

4) - - -

5) + - -

6) + + -

7) - + -

8) + - +

warum hast du jetzt hast

4)

und

6)

ausgelassen?

b)

wenn ich jetzt weiter hier vereinfache:

(|3-2x|-1)² = (2x)² |wurzel

| 3 - 2 x | - 1 = (2 x)

| 3 - 2 x | = 2 x + 1

|²
(3-2x)² = (2x+1)²
.
.
.

x = 0,5

welches mit der lösung übereinstimmt.

kann ich das nun auch so rechnen?

pleindespoir aktiv_icon

12:34 Uhr, 10.11.2010

Zei Varianten habe ich nicht vorgerechnet, weil ich da keine Hoffnung auf Lösung sah - aber Du kannst das ja gerne noch nachholen und überprüfen, ob ich da richtig liege.

Vor allem musst Du bei denen Kombinationen, die eine Lösung für x ergeben, prüfen, ob diese Lösung überhaupt innerhalb des Definitionsbereiches liegt!

b)

Wenn Du quadrierst und anschliessend wieder die Wurzel ziehst, hast Du wieder ein Problem, dass es zwei verschiedene Möglichkeiten geben kann - die Quadratwurzel hat ja naturgemäss zwei mögliche Lösungen!

Ob das dann wirklich eine Arbeitsvereinfachung ist ...

schkaff aktiv_icon

22:43 Uhr, 10.11.2010

"Wenn Du quadrierst und anschliessend wieder die Wurzel ziehst, hast Du wieder ein Problem, dass es zwei verschiedene Möglichkeiten geben kann"

an sich schon, aber da ich ja mit betragsgleichungen rummache, denk ich mir halt dass für den funktionswert nur was positives rauskommen kann. und wenn ich für

x

was negatives bekomme ist das ja kein problem. (glaube ich^^) Notfalls setzte ichs ein und gucke ob ne wahre aussage rauskommt.

finds halt nur merkwürdig, dass ich trotz alldem nur mit dem quadrieren ans ziel gekommen bin.

mit den bisherigen betragsgleichungen hatte ich so nie probleme, vllt wars auch nur zufall. Gibts eventuell betragsgleichungen wo ich mit der methode nicht weiterkomme?

pleindespoir aktiv_icon

23:02 Uhr, 10.11.2010

Probiere ich mal Deine Variante:

(∣ 3 - 2 x ∣ - 1) ² = (2 x) ²

(3 - 2 x)^{2} - 2 ∣ 3 - 2 x ∣ + 1 = 4 x^{2}

- 2 ∣ 3 - 2 x ∣ = 4 x^{2} - (3 - 2 x)^{2} - 1

- 2 ∣ 3 - 2 x ∣ = 4 x^{2} - (9 - 12 x + 4 x^{2}) - 1

- 2 ∣ 3 - 2 x ∣ = 4 x^{2} - 9 + 12 x - 4 x^{2} - 1

- 2 ∣ 3 - 2 x ∣ = - 10 + 12 x

∣ 3 - 2 x ∣ = 5 - 6 x

(3 - 2 x)^{2} = (5 - 6 x)^{2}

9 - 12 x + 4 x^{2} = 25 - 60 x + 36 x^{2}

0 = 16 - 48 x + 32 x^{2}

0 = 1 - 3 x + 2 x^{2}

x_{1} = ½

x_{2} = 1

schkaff aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.11.2010

x 2

liefert ne falsche aussage. somit dürfte es klar sein.

vielen dank!

Salasah aktiv_icon

00:35 Uhr, 13.10.2015

Das am Ende eine falsche Aussage

x_{2} = 1

herauskommt, liegt daran, dass in den Umformungen bei einem Schritt keine Äquivalenzumformung vorliegt:

| 3 - 2 x | = 5 - 6 x

ist nicht äquivalent zu

{(3 - 2 x)}^{2} = {(5 - 6 x)}^{2},

da die rechte Seite negativ sein kann.

Merke: Für

a, b \geq 0

oder

a, b < 0

gilt:

a = b \Leftrightarrow a^{2} = b^{2}

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