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verschachtelte Klammern, komme nich auf Musterlös.

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichung., Klammern, kürzen

moin95 aktiv_icon

16:23 Uhr, 24.09.2025

Hallo Leute,

ich habe gerade eine Übungsaufgabe vor mir und komme nicht auf die Musterlösung

(0)

.
Konkret gesagt, scheint es am fehlerhaften Kürzen oder Vereinfachen zu liegen. Da ich die Aufgabe bereits drei Mal gerechnet habe, wollte ich jetzt hier nachfragen.

Aufgabe:

u^{2} v^{3} w :

[

(-uv^2)(+uw)]

+

(- u^{3} v^{3} w^{2}) :

[

(+u^2vw)(-uvw)]

wenn ich die Nenner ausmultipliziere, kommt Folgendes heraus:

u^{2} v^{3} w :

-u^2-uw+uv^2+v^2w

+

- u^{3} v^{3} w^{2} :

-u^3+u^2vw+uv+v^2+uv-uw+vw+w^2

Soweit ist vermutlich noch alles korrekt.
Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie man die Brüche korrekt kürzt? Was passiert eigentlich, wenn der Zähler durch das Kürzen komplett verschwindet, würde man ihn dann einfach durch "1" ersetzen?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

17:02 Uhr, 24.09.2025

- u \cdot u = - u^{2}

Im 2. Nenner muss es

v^{2}

lauten.

Roman-22

20:22 Uhr, 24.09.2025

Zuerst solltest du mal versuchen, die Angabe deiner Aufgabe hier klar verständlich darzulegen.
Dazu könnte ein Blick in
www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
helfen.

Du gibst als ersten Nenner

(- u v^{2}) \cdot (+ u w)

an, was ausgerechnet

- u^{2} \cdot v^{2} \cdot w

ergibt.
Das, was du danach als ausmultiplizierten Nenner angibst, passt aber eher zu

(- u + v^{2}) \cdot (u + w)

???

Unklar auch, wie der Nenner des zweiten Summanden tatsächlich aussehen soll.

Und, ja, wenn man Kürzen der Zähler "verschwindet" (tut er ja nicht wirklich), dann steht dort eine 1. Denn schließlich bedeutet kürzen ja die Division von Zähler und Nenner.
zB

\frac{5}{25} = \frac{5}{5 \cdot 5} = \frac{1}{5}

. Du kannst dir, wenn es hilft, ja auch

\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}

denken - da wird sofort ersichtlich, dass im Zähler die 1 übrig bleibt.

HAL9000

20:26 Uhr, 24.09.2025

Keine Ahnung, was KL700 da sieht - ich sehe jedenfalls die Formeln unten im Scan. Und da scheint eine Menge an Operatorzeichen (meistens +) in der Originalformel zu fehlen. Beim ersten Bruch kann ich noch

\frac{u^{2} v^{3} w}{(- u + v^{2}) (u + w)}

erraten, aber den Nenner des zweiten Bruchs kann ich nicht rekonstruieren - wohl auch weil ein paar Fehler in der Umformung sind. Also bemühe dich doch mal bitte, die Originalbrüche in irgendwie lesbarer Form zu wiederholen, d.h. ohne wichtige Operatorzeichen wegzulassen...

Roman-22

20:50 Uhr, 24.09.2025

@ moin95

Sollte das Ergebnis vielleicht Null sein?
Das wäre jedenfalls das Ergebnis für

\frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{(- u \cdot v^{2}) \cdot (+ u \cdot w)} + \frac{- u^{3} \cdot v^{3} \cdot w}{(+ u^{2} \cdot v \cdot w) \cdot (- u \cdot v \cdot w)} = - v + v = 0

.
Dann hättest du fälschlicherweise in den Nennern beim "Ausmultiplizieren" eine Reihe von Operatoren (meist

+)

dazu erfunden, bzw. die impliziten Multiplikationen durch Additionen ersetzt.
Beachte, dass zB

- u v^{2}

für

- u \cdot v^{2}

steht und NICHT für

- u + v^{2}

.
Siehe dazu auch meine Anmerkung zum Ausrechnen des ersten Nenners in meiner ersten Antwort.

Da es mich bei deiner ersten Frage hier im Forum schon irritiert hat meine Frage: Bist du sicher, dass dieses 'Problem' ins Uni/FH Forum gehört?

EDIT: Habe gerade deine Frage nochmals genauer gelesen und bemerkt, dass du ohnedies angibst, dass das Ergebnis Null sein soll.
Dann scheint das Problem tatsächlich darin begründet zu sein, dass du Ausdrücke wie

a b c

irrtümlich als

a + b + c

liest und nicht, so wie es richtig wäre, als

a \cdot b \cdot c

moin95 aktiv_icon

11:30 Uhr, 25.09.2025

Hallo,

danke erstmal für die Antworten. Die Aufgabe ist korrekt, so wie du sie oben notiert hast. Ich konnte die Ausführungen soweit nachvollziehen, scheitere aber eklatant bereits an Grundlagen.

@Roman22: Das Ausmultiplizieren im Nenner war fehlerhaft, danke für die Korrektur.

Ich habe versucht, dein Ergebnis des Nenners nachzuvollziehen, was aber nur teilweise gelingt:

(- u \cdot v^{2}) \cdot (+ u \cdot w) = - u^{2} - u \cdot w \cdot u \cdot v^{2} \cdot v^{2} w

Bei mir bleibt sozusagen der "mittlere Teil

(- u \cdot w \cdot u \cdot v^{2}

)" übrig. Kann mir jemand dazu einen Tipp geben? So kann ich mich langsam der richtigen Lösung nähern.

Die Aufgabe passt wohl eher ins Forum für die 9. Klasse und nicht zur Hochschulmathematik.

Vielen Dank!

calc007

13:32 Uhr, 25.09.2025

Wenn ich mich mal versuchen darf
(das Thema passt eher in die 5. Klasse und scheint ein wenig arg aus der Routine gefallen zu sein.)

Ich drösle mal in ganz ganz kleine Schrittchen auf, die hoffentlich an Verständlichkeit keinerlein Zweifel lassen.

(- u \cdot v^{2}) \cdot (+ u \cdot w)

In dieser Darstellung taucht ein Pluszeichen "+" auf. Das ist aber streng genommen keine Operation, sondern ein Vorzeichen.
Ähnlich wie:

7 \cdot 7 = 7 \cdot (+ 7) = 49

du kannst es also einfach auch weglassen:

(- u \cdot v^{2}) \cdot (+ u \cdot w) = (- u \cdot v^{2}) \cdot (u \cdot w)

Dann erkennst du leichter, dass da eigentlich gar keine komplexen Summen oder Summanden stehen,
sondern einfach nur Produkte

\to

Mal-Nehmen:

(- u \cdot v^{2}) \cdot (+ u \cdot w) = (- u \cdot v^{2}) \cdot (u \cdot w)

= (- u \cdot v^{2}) \cdot u \cdot w

= - u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w

= - u \cdot u \cdot v^{2} \cdot w

= - u^{2} \cdot v^{2} \cdot w

moin95 aktiv_icon

16:38 Uhr, 25.09.2025

Hallo,

danke, das kann ich soweit gut nachvollziehen.

Kannst du mir noch einen Hinweis geben, warum das Ausmultiplizieren des Nenners an der Stelle falsch ist? Du hast ja im Prinzip nur die Klammern aufgelöst-warum muss man die Klammern nicht miteinander multiplizieren? Mir ist wohl nicht klar, wann das Auflösen reicht und wann man ausmultiplizieren muss.

calc007

16:55 Uhr, 25.09.2025

Leider ist aus deinen Worten nicht wirklich klar verständlich, wo deine Unsicherheiten liegen.
Multiplizieren ist doch eigentlich völlig unproblematisch.
Klammern setzt man doch eigentlich nur, wenn man sie zur Verständigung, Verdeutlichung oder zum Priorisieren braucht.

Beim reinen Multiplizieren sind sie doch eigentlich kaum von nöten.
Nur um mal vor Augen zu führen:
Die primitive Multiplikation ist doch eigentlich stets die selbe, egal wie kompliziert man sie mit Klammern ausschmückt:

2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = (2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5)

= (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)

= (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5

= (2 \cdot (((3 \cdot 4))) \cdot 5)

= 2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5))

= 2 \cdot (((((3 \cdot 4)) \cdot 5)))

= (((2 \cdot (((3 \cdot)))) \cdot 4) \cdot 5)

= ……

moin95 aktiv_icon

17:26 Uhr, 25.09.2025

Hallo,

danke nochmal. Mir scheint einfach nicht klar zu sein, wann ich die Klammern ausmultiplizieren muss und wann das bloße Auflösen reicht. Ich verstehe, wie beides funktioniert. Warum, konkret an dem Beispiel, muss man den Nenner nicht ausmultiplizieren? Es gibt doch zwei Klammern, die sich gegenüberstehen und multiplziert werden müssen (?)

Roman-22

18:07 Uhr, 25.09.2025

Das was du mit "ausmultiplizieren" meinst ist dann nötig, wenn in mindestens einer der Klammern eine Strichrechnung, also eine Addition oder eine Multiplikation, vorkommt. Dann ist nach dem sogen. Distributivgesetz ("jedes mit jedem") auszurechnen.
In deinem Fall gibt es aber in keiner der Klammern eine Strichrechnung. Die "+" und "-" stehen hier nicht für Addition oder Multiplikation sondern sind bloß Vorzeichen, wobei das "+" auch weggelassen werden kann. Ich nehme an, dass es nur deshalb in der Angabe steht, damit klar deutlich wird, dass hier wegen "+"

⋆

"-" = "-" das Gesamtergebnis negativ zu nehmen wird.

Eine Rechnung wie

(- 5) ⋆ (+ 3)

hat wegen "-"

⋆

"+"="-" ein negatives Vorzeichen und danach ist nur mehr

5 \cdot 3

zu rechnen, das Gesamtergebnis daher

- 15

.
Ähnliches gilt auch für Aufgaben wie

(- a ⋆ b) ⋆ (+ a ⋆ c) =

?. Das Gesamtergebnis is negativ und es ist daher

- a ⋆ b ⋆ a ⋆ c,

was man, weil man bei Multiplikationen beliebig umordnen kann (Kommutativgesetz) auch als

- a ⋆ a ⋆ b ⋆ c = - a^{2} \cdot b \cdot c

schreiben kann.

Du kannst die Rechnung

(- 5) ⋆ (+ 3)

auch (unnötig kompliziert, aber vielleicht hilft es beim Verständnis) als

(0 - 5) ⋆ (0 + 3)

schreiben und das dann entsprechend mit

0 \cdot 0 + 0 \cdot 3 - 5 \cdot 0 - 5 \cdot 3 = - 5 \cdot 3 = - 15

ausmultiplizieren.
Analog dann auch

(- a \cdot b) ⋆ (+ a \cdot c) = (0 - a \cdot b) ⋆ (0 + a \cdot c) = 0 \cdot 0 + 0 ⋆ a \cdot c - a \cdot b ⋆ 0 - a \cdot b ⋆ a ⋆ c = - a \cdot b \cdot a \cdot c = - a^{2} \cdot b \cdot c

moin95 aktiv_icon

03:41 Uhr, 26.09.2025

Hallo,

danke, jetzt ist mir alles klar. Ich melde mich bei neuen Unklarheiten.

moin95 aktiv_icon

03:41 Uhr, 26.09.2025

Hallo,

danke, jetzt ist mir alles klar. Ich melde mich bei neuen Unklarheiten.

moin95 aktiv_icon

11:25 Uhr, 29.09.2025

Hi Leute,

ich wollte vorsichtshalber rückfragen, ob das Kürzen beim ersten Bruch überhaupt korrekt ist:

u 2 \cdot v 3 \cdot w :

(−

u \cdot v 2) \cdot (+ u \cdot w)

Man würde ja

u^{2} : - u^{2}

rechnen und kürzen. Was macht man denn, wenn die Vorzeichen der zu kürzenden Faktoren verschieden sind, der Rest aber gleich ist?

Roman-22

12:11 Uhr, 29.09.2025

1)

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

2) \frac{5 \cdot 3}{- 4 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 3}{(- 1) \cdot 4 \cdot 5} = \frac{3}{- 4} = - \frac{3}{4}

calc007

12:52 Uhr, 29.09.2025

oder - falls es hilft:

\frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{- u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w} = \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{(- 1) \cdot u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w}

= \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{u \cdot (- v^{2}) \cdot u \cdot w}

= \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{u \cdot v^{2} \cdot (- u) \cdot w}

= \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{u \cdot v^{2} \cdot u \cdot (- w)}

= \frac{- u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w}

= \frac{u^{2} \cdot (- v^{3}) \cdot w}{u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w}

= \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot (- w)}{u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w}

= - \frac{u^{2} \cdot v^{3} \cdot w}{u \cdot v^{2} \cdot u \cdot w}

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