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vollst. Induktion, Indexverschiebung bei Summen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Vollständige Induktion

vue89 aktiv_icon

12:56 Uhr, 20.10.2008

Hallo zusammen!
Also:
Man beweise durch vollständige Induktion für

n

in ℕ:

\sum_{v = 0}^{2^{n + 1} - 1} x^{v} = \prod_{v = 0}^{n} (1 + x^{2 v})

Den Induktionsanfang bekomme ich ganz leicht hin. Aber beim Induktionsschluss schaffe ich es nicht, das Summenzeichen so mit Indexverschiebungen zu bearbeiten, dass ich die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.
Also nochmal kurz. ich muss oben beim Summenzeichen von

2^{n + 2} - 1

auf

2^{n + 1} - 1

kommen, damit ich ersetzen kann.
Ich hoffe ich habe das Problem klar gemacht
Danke schon jetzt für jede Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

14:03 Uhr, 20.10.2008

...schau dir mal die Glieder der Summenformel an.

Da bei mir der Formeleditor nicht funzt schreib' ichs mal so:

Summe von

v = 0

bis

2^{n + 2} - 1

über

x^{v}

für beliebiges

n

istgleich
x^(2^(n+2)-1)-x+Summe von

v = 0

bis

2^{n + 1} - 1

über

x^{v}

vue89 aktiv_icon

14:36 Uhr, 20.10.2008

wieso muss in der formel noch

- x

stehen?
ansonsten hab ichs verstanden

Edddi aktiv_icon

17:29 Uhr, 20.10.2008

...sorry, Denkfehler von mir, hab's ja komplett falsch gemacht...

Bsp.:

n = 3 \to 2^{n + 2} - 1 = 15

und

2^{n + 1} - 1 = 7,

das heißt:
Reihe

1 = x^{0} + x^{1} + ... + x^{15}

Reihe

2 = x^{0} + x^{1} + ... + x^{7}

dann muss für eine identität gelten:

(x^{0} + x^{8}) + (x^{1} + x^{9}) + ... (x^{7} + x^{15}) =

Reihe 1 bzw. Reihe 2 mit anderen Indizes

das heißt:
Summe von

v = 0

bis

2^{n + 2} - 1

über

x^{v} =

Summe von

v = 0

bis

2^{n + 1} - 1

über

x^{v} + x^{v + 2^{n + 1}}

...so müßt es eigentlich sein, denn

n

bleibt je eine feste Konstante in dieser Reihe.
Was meinst du??

vue89 aktiv_icon

21:56 Uhr, 20.10.2008

ich weiß nicht, ob ich gerade einfach zu dof bin, oder ob es einfach zu spät ist zum denken, aber ich kann das ganze nicht ganz nachvollziehen.
Also meine erste Frage:
" dann muss für eine identität gelten:

(x^{0} + x^{8}) + (x^{1} + x^{9}) + ... (x^{7} + x^{15}) =

Reihe 1 bzw. Reihe 2 mit anderen Indizes"
Ich weiß nicht genau wie du das meinst mit der reihe 1 und 2 mit anderen indizes

Frage 2:
Wieso ist

n

eine feste Konstante. das ist doch eine Summe. und für mich ist das

n

beliebig aber fest. Das heißt aber, wenn ich das nachrechne, dass deine Lösung nicht gleich ist.....

Bitte kann mir da einer helfen???
Danke

MBler07 aktiv_icon

22:39 Uhr, 20.10.2008

Hi

ich beschränke mich mal auf das Summenzeichen. Den Rest kannst du dir ja selbst dazudenken:

Σ_{v = 0}^{2^{n + 2} - 1} = Σ_{v = 0}^{2^{n + 1 + 1} - 1} = Σ_{v = 0}^{2^{n + 1} \cdot 2 - 1} = Σ_{v = 0}^{2^{n + 1} + 2^{n + 1} - 1} = Σ_{v = 2^{n + 1}}^{2^{n + 2} - 1} + Σ_{v = 0}^{2^{n + 1} - 1}

Aber ich bezweifle mal, dass dir das viel weiterhilft. Ich hab im moment allerdings auh keine Idee wie man das besser machen könnte.

Grüße

Edddi aktiv_icon

07:17 Uhr, 21.10.2008

...ich hab' deine Aufgabe mal so verstanden:
du hast die Reihe 1 gegeben mit:
Summe von

v = 0

bis

2^{n + 2} - 1

über

x^{v},

das heißt die Summendarstellung sieht so aus:

x^{0} + x^{1} + ... + x^{2^{n + 2} - 1} .

Da du für einen Induktionsschritt aber zu stehen haben wolltest:
Summe von

v = 0

bis

2^{n + 1} - 1

über

F (x),

müssen wir die Funktion

F (x)

anpassen, dh. es kann ja nicht die gleiche Funktion

x^{v}

bleiben, oder? -sonst käme ja was anderes raus.
Du wolltest ja nur, das sich der Term

2^{n + 2} - 1

2^{n + 1} - 1

über dem Summenzeichen ändert.
Also hab ich die Funktion

F (x)

angepasst zu:
aus

x^{v}

wird:

x^{v} + x^{v + 2^{n + 1}}

dann hast du die selben Summenglieder aber mit einer anderen oberen Grenze.

Meld' dich doch nochmal, falls du was anderes meintest...
Ich hab gesehen das du über deinem Beispiel ganz vorn im Beitrag aber

2^{n + 1} - 1

zu stehen hast. Kann es sein, das du im Zuge der Induktion eigentlich für

n

wird zu

n + 1

den Term

2^{(n + 1) + 1} - 1 = 2^{n + 2} - 1

über dem Summenzeichen zu stehen haben wolltest, und nicht umgekehrt?

pwmeyer aktiv_icon

10:23 Uhr, 21.10.2008

Hallo,

muss weg, daher nur eine Idee: Ist es nicht einfacher, von rechts nach links zu schließen, also mit dem Produkt zu beginnen?

Gruß pwm

Edddi aktiv_icon

11:04 Uhr, 21.10.2008

...ich habs mir mal näher angeschaut, wie bekommst du eigentlich den Induktionsanfang hin? Du mußt es ja erstmal

z . B

. für

n = 1

die Aussage beweisen, bevor du über Induktion auch für weitere

n + 1

beweisen willst.
Also ich bekomm's nicht hin.
für

n = 1

gilt:
Summe von

v = 0

bis

2^{n + 1} - 1

über

x^{v} = x^{0} + x^{1} + x^{2} + x^{3}

aber:
Produkt von

v = 0

bis

n

über

1 + x^{2 \cdot v} = (1 + x^{0}) \cdot (1 + x^{2}) = 2 \cdot (1 + x^{2}) = 2 + 2 x^{2}

Edddi aktiv_icon

11:24 Uhr, 21.10.2008

. .

. folgendes hab' ich noch schnell nachgerechnet:
Produkt von

v = 0

bis

n

über

1 + x^{2^{v}}

ist identisch mit
Summe von

v = 0

bis

2^{n}

über

x^{v}

...kannst ja mal nachrechnen. Das läßt sich auch gut mittels Induktion beweisen.

Vielleicht hast du ja einfach die Regel

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

angewand, sprich du hast statt

x^{2^{v}} = x^{2 \cdot v}

geschrieben.
Es war aber

x^{(2^{v})}

gemeint, da kommt dann was sinvolles raus.

vue89 aktiv_icon

19:24 Uhr, 21.10.2008

Ja sorry das mit den Potenzen war ein Tippfehler
kann man denn nicht einfach sagen, dass:

\sum_{v = 0}^{2^{n + 2} - 1} x^{v} = \sum_{v = 0}^{2^{n + 1} - 1} x^{v} + x^{2^{n + 2} - 1}

wo liegt mein Fehler?

Edddi aktiv_icon

06:11 Uhr, 22.10.2008

ich sag mal, dein Denkfehler ist der, den ich zu Anfang auch hatte.
Dadurch, da du Deinen oberen Index

2^{n + 2} - 1

änderst zu

2^{n + 1} - 1

fehlt ja in deiner Reihe, wenn du sie vollständig darstellst

(x^{0} + x^{1} + ... .)

nicht nur 1 Glied, sondern eine Anzahl von Gliedern der Differenz

(2^{n + 2} - 1) - (2^{n + 1} - 1) = 2^{n + 1}

Glieder.

Versuchs mal mit dem Ausschreiben der Reihen...

vue89 aktiv_icon

19:53 Uhr, 22.10.2008

ok das habe ich verstanden. da hatte ich wohl einen denkfehler

so dann zu deiner lösung:
Du sagst: dass

\sum_{v = 0}^{2^{n + 2} - 1} x^{v} = \sum_{v = 0}^{2^{n + 1} - 1} x^{v} + x^{v + 2^{n + 1}}

ist.
Aber, wenn ich das jetzt so verstehe, dass der 2. Summand hinten mit zum Summenzeichen gehört, dann kommt bei einem Beispiel nicht das gleiche raus...

z . B

n = 1

ergibt die linke Seite:

\sum_{v = 0}^{7} x^{v} = x^{0} + x^{1} + x^{2} + ... + x^{7}

die rechte Seite ergibt:

\sum_{v = 0}^{3} x^{v} + x^{v + 2^{n + 1}} = x^{0} + x^{2^{n + 1}} + x^{1} + x^{2^{n + 1} + 1} . .

.
das ist nicht gleich
ALso ich weiß nicht, ob ich dich falsch verstaden habe, oder ob in der Gleichung noch ein Fehler ist

Edddi aktiv_icon

07:53 Uhr, 23.10.2008

...du bist schon ganz richtig. Das "n" in der Summenformel ist aber keine Variable sondern durch die Definition

n = 1

festgelegt.

d . h

. für die rechte Seite: Summe von

v = 0

bis 3 über

x^{v} + x^{v + 4},

und das ist identisch mit der linken Seite oder?

Viele Grüße

vue89 aktiv_icon

09:06 Uhr, 23.10.2008

der höchste summand der rechten seite wäre aber dan doch:

x^{v + 2^{v + 1} = x^{3 + 2^{4}} = x^{19}}

und eigentlich darf das doch nur bis 7 gehen um gleich zu sein, oder wo ist mein denkfehler?

Edddi aktiv_icon

10:25 Uhr, 23.10.2008

die rechte Seite lautet für

n = 1 :

Summe von

v = 0

bis 3 über

x^{v} + x^{v + 2^{n + 1}}

das ist gleich:
Summe von

v = 0

bis 3 über

x^{v} + x^{v + 2^{2}}

das ist gleich:
Summe von

v = 0

bis 3 über

x^{v} + x^{v + 4}

das ist gleich:

(x^{0} + x^{4}) + (x^{1} + x^{5}) + (x^{2} + x^{6}) + (x^{3} + x^{7})

das ist gleich:

x^{0} + x^{4} + x^{1} + x^{5} + x^{2} + x^{6} + x^{3} + x^{7}

das ist gleich:

x^{0} + x^{1} + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} + x^{7}

hast du das auch so??

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