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vollst. Induktion, Summen, Ungleichung
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Summen, Ungleichung, vollst. Induktion
 
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Hallo, folgendes sollen wir per vollständige Induktion beweisen. Als Tipp ist die nach der Dreiecksungleichung geben: Uns fällt dazu aber leider so absolut gar nichts ein. Also haben wir auch noch keine Vorschläge für einen Ansatz... Wäre nett, wenn uns jemand einen Tipp/möglichen Lösungsweg zeigen könnte! Liebe Grüße, Jan Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ist das nicht trivial? Vielleicht übersetze ich am besten erstmal die zu beweisende Ungleichung von Mathe nach Deutsch: "Der Betrag einer Summe ist kleiner oder gleich der Summe der Beträge aller Summanden". Kannst du dir denn vorstellen, was das etwa heißt? Testfrage: Wann gilt die Gleichheit? Naja, den Induktionsanfang mach ich auch noch, dann bist du erstmal dran. IA: Verstehst du den Induktionsanfang? Wir fangen bei an, also mit nur einem Summanden. Dann ist natürlich der Betrag der Summe gleich dem Betrag des einzigen Summanden gleich der Summe der Beträge "aller Summanden" (gibt ja nunmal nur einen). Für gilt die Behauptung also. |
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Hallo, ok, gut. Der Schritt wäre dann: Und das wäre doch jetzt die Dreieicksungleichung, oder? Müsse man die jetzt beweisen? Liebe Grüße, Jan |
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Ich sehe gerade, dass der Induktionsanfang nicht bei sondern schon bei sein müsste, da die Summe von bis geht. (hab's oben korrigiert) Am Gedankengang ändert sich dadurch jetzt aber nichts. Wie kamst du auf die 2 als Obergrenze der Summe? Beim Induktionsschritt beweist man ganz allgemein: wenn die Aussage für gilt, dann auch für . Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt daraus dann, dass sie für ALLE größer oder gleich dem Induktionsanfang gilt, das ist der Sinn der Sache. Die Aussage nun einfach für zu beweisen, wenn man den Induktionsanfang bei hatte, hilft einem überhaupt nicht weiter. Dann müsste man sie ja für und so weiter nochmal wieder beweisen. Und meine Testfrage hast du auch nicht beantwortet. :–( |
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Hallo! Sorry, war vorhin in der Uni und hab nicht viel nachgedacht. :-P) Also zu deiner Frage. Die Gleichheit gilt doch immer, wenn die (kann man Summanden sagen?) positiv sind. Natürlich muss da stehen, an dem, was ich sonst aufgeschrieben habe, ändert sich nichts. Liebe Grüße, Jan |
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? Äh, also wenn alle also alle Summanden der Summe, dasselbe Vorzeichen haben (nicht notwendigerweise positiv), dann gilt die Gleichheit, und sonst nicht. |
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gesprochen "ixe"... Also jedenfalls . hilft nun der Beweis der Dreiecksungleichung? Liebe Grüße, Jan |
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Ach ixe, na gut. Dann hattest du fast Recht. :-) Ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr die Dreiecksungleichung nochmal beweisen sollt. Die wurde doch extra als Tipp vorgegeben, oder? Naja, der Induktionsschritt müsste folgendermaßen aussehen: (da hab ich jetzt einfach nur den letzten Summanden aus der Summe gezogen (beachte: die Obergrenze der Summe wird dabei natürlich um 1 kleiner) (nach Dreiecksungleichung) (nach Induktionsvoraussetzung) (letzten Summanden wieder in die Summe gezogen) fertig. |
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Super. Danke schön!
Im Nachhinein ist man immer schlauer und denkt, dass man da auch hätte drauf kommen können (wie mit Bildern berühmter Maler - die man natürlich auch hätte Zeichnen können . auf die Idee zu kommen ist eine andere Sache). Ich hoffe, mit ein paar mehr Induktionen haben wir irgendwann den Dreh raus. Jan |
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Freut mich, dass ich helfen konnte. Du kennst dich nicht zufällig mit stetigen Abbildungen aus, oder? |
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