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vollständige Induktion - Maschinenbau

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Induktion, Komplexe Analysis, Vollständig Induktion

märzapril aktiv_icon

14:18 Uhr, 20.02.2010

Hallo, kann mir bitte jemand helfen. Also, man gehe davon aus, ich habe noch nie im Leben etwas von Induktion (Mathematik) gehört. Und nun soll ich das hier beantworten:

\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) \cdot (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}, n \in N

Bitte helft mir...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

14:41 Uhr, 20.02.2010

Bevor Du Dich an diese Aufgabe wagst, solltest Du erstmal grob die Theorie verstehen. Also mach Dich mal schlau über das Beweisprinzip der vollständigen Induktion und versuchs mal. Wenns nicht klappt, schildere Deine Probleme hier.

märzapril aktiv_icon

16:41 Uhr, 20.02.2010

Habe mir jetzt alles über Induktion im Skript und auf Wikipedia durchgelesen. Finde allerdings immer noch keinen Ansatz.
Bitte um mehr Hilfe.

Kosekans aktiv_icon

17:35 Uhr, 20.02.2010

Ein Induktionsbeweis besteht immer aus Induktionsvoraussetzung, Induktionsanfang und Induktionsschluss (Schluss hier nicht im Sinne von "Ende" sondern im Sinne von "Folgerung").
Nach dem was du bei Wikipedia gelesen hast, wie heisst deine Inuktionsvoraussetzung und welches

n

wählst du als Induktionsanfang?

märzapril aktiv_icon

17:58 Uhr, 20.02.2010

n = 1

Kosekans aktiv_icon

19:12 Uhr, 20.02.2010

Induktionsvoraussetzung:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}

Induktionsanfang:

\sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{(2 \cdot 1 - 1) (2 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{(2 \cdot 1 - 1) (2 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 1 + 1}

Das sieht jetzt zwar aus wie Kinderkram, MUSS aber in jedem Induktionsbeweis vorkommen. Du kannst ja mal nach "Fehlern bei Induktionsbeweisen" oder so googlen, da sind an diversen Stellen die Gründe dafür recht gut beschrieben.

Jetzt kommt der interessante Teil:

Induktionsschluss

n \to n + 1 :

(lies: von

n

auf

n + 1)

Man nimmt an, die Behauptung, die man beweisen will, gilt für ein beliebiges

n

. Dann zeigt man, dass, wenn dies richtig ist, sie dann auch für

n + 1

gilt. Du nimmst also

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 \cdot k - 1) (2 \cdot k + 1)} + \frac{1}{(2 \cdot (n + 1) - 1) (2 \cdot (n + 1) + 1)}

und formst es geeignet um.

Der erste Teil der rechtsseitigen Summe ist die Induktionsvoraussetzung. Unter Verwendung dieser gilt:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 \cdot k - 1) (2 \cdot k + 1)} + \frac{1}{(2 \cdot (n + 1) - 1) (2 \cdot (n + 1) + 1)} =

\frac{n}{2 n + 1} + \frac{1}{(2 \cdot (n + 1) - 1) (2 \cdot (n + 1) + 1)} = \frac{n}{2 n + 1} + \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n + 1}{2 n + 3} = \frac{n + 1}{2 \cdot (n + 1) + 1}

= \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(2 \cdot k - 1) (2 \cdot k + 1)}

edit: Formulierungen geändert.

Astor aktiv_icon

15:20 Uhr, 21.02.2010

@kosekans,
das vorletzte Gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
Gruß Astor

Kosekans aktiv_icon

23:56 Uhr, 21.02.2010

\frac{n}{2 n + 1} + \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n (2 n + 3) + 1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{(2 n + 1) (n + 1)}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n + 1}{2 n + 3}

Oder was meinst du?

märzapril aktiv_icon

19:08 Uhr, 22.02.2010

Hallo,
ich habe da was noch nicht verstanden:
wie kommt man auf den hinteren Teil der zweiten deiner Gleichungen, also auf

\frac{1}{(2 \cdot k - 1) (2 \cdot k + 1)} + \frac{1}{(2 \cdot (n + 1) - 1) (2 \cdot (n + 1) + 1)}

also was ich daran nicht verstehe ist, warum rechnet man den einen Bruch plus den anderen.

Danke schonmal

Kosekans aktiv_icon

22:30 Uhr, 23.02.2010

Vor dem linken Bruch fehlt bei dir das Summenzeichen. Du teilst lediglich die Summe

\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k}

auf in

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1},

also die ersten

n

Glieder plus das

(n + 1)

-te Glied.

märzapril aktiv_icon

18:54 Uhr, 24.02.2010

Ich habe leider immer noch nicht so hundertprozentig verstanden. Also beim "Induktionsschluss:" schreibt man dann anstatt

n n + 1

hin, richtig?
Und das hast du dann eingeteilt in

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1}

oder?
Aber wie kommt man von

\sum_{k = 1}^{n + 1}

darauf? Das versteh ich noch nicht so ganz.

arrow30

18:57 Uhr, 24.02.2010

also junge Dame :

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \dots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}

\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \dots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n} + a_{n + 1} = (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}) + a_{n + 1}

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