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vollständige Induktion (Ungleichung)

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis durch vollständig Induktion, Summenzeichen, Ungleichung

RandomDude aktiv_icon

17:59 Uhr, 28.12.2019

Hallo,

ich wiederhole gerade die vollständige Induktion, bin aber an einer kleinen Stelle hängengeblieben.
Und zwar lautet die Behauptung:

\sum_{k = 0}^{n - 1} k^{5} \leq \frac{n^{6}}{6}

für alle

n \in N

Ich habe natürlich den Anfang und die Voraussetzung geschafft, scheitere aber beim Schritt wie es üblich ist.

Ich habe die Summe genommen und das letzte Glied entfernt, so dass:

\sum_{k = 0}^{n} k^{5} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{5} + n^{5}

Dann wollte ich die Voraussetzung benutzen und bekomme:

\sum_{k = 0}^{n} k^{5} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{5} + n^{5} \leq \frac{n^{6}}{6} + n^{5}

Jedoch habe ich jetzt irgendwie eine Blockade und komme nicht auf den Schluss:

\sum_{k = 0}^{n} k^{5} \leq \frac{{(n + 1)}^{6}}{6}

Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich weitermachen kann.
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

18:21 Uhr, 28.12.2019

Hallo,

im Prinzip gehst du von n auf

n + 1

n+1:

\sum_{k = 0}^{n} k^{5} \leq \frac{(n + 1)^{6}}{6}

Dann richtigerweise den letzten Summanden aus dem Summenzeichen herauslösen.

\sum_{k = 0}^{n - 1} k^{5} + n^{5} \leq \frac{(n + 1)^{6}}{6}

Auf der linken Seite haben wir jetzt schon einmal, unter anderem, die Induktionsannahme stehen.

Nun den Binomischen Lehrsatz auf

(n + 1)^{6}

anwenden. Dann lässt sich die Induktionsannahme der rechten Seite auch herausarbeiten.

Gruß

pivot

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