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vollständige Induktion / Ungleichung mit Fakultät

Universität / Fachhochschule

Tags: Vollständige Induktion bei Ungleichung mit Fakultät

Chrissi85 aktiv_icon

12:39 Uhr, 05.11.2010

Hallo,

hab mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiterkomme.
Es geht um einen Beweis durch vollständige Induktion, und zwar:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
für

n \geq 4

gilt:

2^{n} < n!

Für meinen Induktionsanfang habe ich 4 gewählt, also:

2^{4} < 4!

16 < 24

So, und jetzt für

n + 1

2^{n + 1} < (n + 1)!

2^{n + 1} < n! (n + 1)

\frac{2^{n + 1}}{n + 1} < n!

reicht das schon als Beweis? Oder muss man das noch weiter auflösen? Wenn ja wie?

Habe noch eine zweite relativ einfache Aufgabe wo ich mir auch nicht sicher bin ob mein Beweis ausreicht und zwar:

für

n \neq 3

gilt

n^{2} \leq 2^{n}

Da würde ich jetzt für

n

einfach 3 einsetzen und erhalte

9 \leq 8

was ja offensichtlich nicht stimmt und somit wäre die Aussage bewiesen, aber das ist ja dann KEINE vollständige Induktion oder?? Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)