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vollständige Induktion - liege ich richtig?

Universität / Fachhochschule

Tags: Lösung richtig, Vollständig Induktion

anonym22 aktiv_icon

15:58 Uhr, 23.12.2013

Hallo, ich habe eine zweite Aufgabe versucht über vollst. Induktion zu lösen. Ich möchte gerne wissen ob meine Lösung in der unten genannten Form in Ordnung ist. Vielen Dank im voraus.

Zeigen Sie mit vollst. Induktion:

n

Element

N, x

Element

R, x \geq - 1 \Rightarrow {(1 + x)}^{n} \geq 1 + n \cdot x

Induktionsanfang:

A (1) = {(1 + x)}^{1} \geq 1 + 1 \cdot x = 1 + x = 1 + x \Rightarrow

wahr
Induktionsannahme: angenommen

A (n)

sei wahr

Induktionsschluss: dann gilt auch

A (n + 1)

ist wahr

A (n + 1) = {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^{n} (1 + x) \geq (1 + n \cdot x) (1 + x) = 1 + x + n \cdot x + n \cdot x^{2} \geq 1 + n \cdot x + x

= n \cdot x^{2} \geq 0

Ist die Aufgabe hier zu Ende, und habe ich sie richtig gelöst ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

16:10 Uhr, 23.12.2013

"Habe ich sie richtig gelöst?"
Ich behaupte: Nein.
Du schreibst:

{(1 + x)}^{n + 1} \geq (1 + n \cdot x) \cdot (1 + x)

Hätte das nicht heissen sollen:

{(1 + x)}^{n + 1} \geq (1 + (n + 1) \cdot x)

"Ist die Aufgabe hier zu Ende?"
Sicherlich nein.
Die vollständige Induktion besteht stets aus DREI Schritten.

anonym22 aktiv_icon

16:26 Uhr, 23.12.2013

ich bin verzweifelt

anonym22 aktiv_icon

16:34 Uhr, 23.12.2013

{(1 + x)}^{n}

ist ja nach

A (n) \geq 1 + n \cdot x

. Also muss

{(1 + x)}^{n} (1 + x) \geq (1 + n \cdot x) + (1 + x)

sein. Das

(1 + x)

habe ich also auf der rechten Seite ergänzt damit die Formel wieder stimmt.

anonymous

17:04 Uhr, 23.12.2013

Nicht verzweifeln. Das bringt nichts. Einfach ruhig und systematisch arbeiten.

Wir sind uns einig, darin:
Die Aussage

A (n)

lautet:

{(1 + x)}^{n} \geq 1 + n \cdot x

Habe ich recht verstanden? Du hast jetzt die ganze (Un-)Gleichung mit

(1 + x)

durchmultipliziert:

{(1 + x)}^{n} \cdot (1 + x) \geq (1 + n \cdot x) \cdot (1 + x)

Dann hast du wohl umgeformt. Ich vermute mal und schreibe in meinen Worten:

{(1 + x)}^{n + 1} \geq [1 + (n + 1) \cdot x] + n \cdot x^{2}

Weiters wage ich ahnend zu verstehen:

a)

der linke Teil dieser umgeformten (Un-)Gleichung ist der linke Teil der Ungleichung

A (n + 1)

b)

der Teil in eckigen Klammern

[]

ist der rechte Teil der Ungleichung

A (n + 1)

c)

der Term

n \cdot x^{2}

ist stets größer (gleich) Null.

Nur konnte ich weiters die Logik darin noch nicht verstehen.
Wie kannst du aus den 3 Aussagen

a), b), c)

schließen, dass aus

A (n) \to A (n + 1)

folgt?
Wie gesagt. Vielleicht mangelt es mir nur an Verständnis. Vielleicht hilft dir und mir einfach das geschriebene nochmals erklärend in Worte zu fassen.

. .

anonymous

17:52 Uhr, 23.12.2013

Ja, so allmählich dämmert es auch mir.

In meinen Worten:
Wir haben die These

A (n)

durch Beispiele belegt.
Wir konnten diese These

A (n)

geeignet umformen und kamen zur Erkenntnis:

{(1 + x)}^{n + 1} \geq [1 + (n + 1) \cdot x] + n \cdot x^{2}

(n \cdot x^{2} \geq 0)

können wir weiter schließen:

{(1 + x)}^{n + 1} \geq [1 + (n + 1) \cdot x] + n \cdot x^{2} \geq [1 + (n + 1) \cdot x]

Auf diese Weise haben wir aus der Gültigkeit von

A (n)

schlussfolgern können, dass auch

A (n + 1)

gültig ist.

III. Induktions-Schritt
Da

A (n)

für Beispiele gültig ist, und da aus der Gültigkeit von

A (n)

auf

A (n + 1)

geschlossen werden kann, ist die Aufgaben-Ungleichung allgemeingültig.

Sorry, wenn ich dich der Verzweiflung näher gebracht habe.
Möglicherweise hattest du diesen Gedankengang auf deine Weise schon zu Papier gebracht. Und ich hatte ihn einfach nicht recht verstanden.
Und ja, wenn du auch meinen Worten zustimmen willst, oder sicher bist, dass deine Herleitung oben sinngemäß das Gleiche ausdrückt, dann will ich das gerne als Beweis anerkennen.

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