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vollständige Induktion nach n. richtig?
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Vollständige Induktion
 
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anonymous 19:08 Uhr, 05.12.2007  |
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Aufgabe: Beweise 1^(2) + 2^(2) + 3^(2) + ... + n^(2) = (1/6)*n(n+1)(2n+1) I) n = 1 1 = (1/6)*1*2*3 1 = 1 II) A(n+1) 1^(2)+2^(2)+3^(2)+ ...+ n^(2)+(n+1)^(2) = (1/6)*n(n+1)*(2n+1)+(n+1)^(2) = (1/6)*[n(n+1)*(2n+1) + 6*(n+1)^(2)] = (1/6)*[n*(2n^2+n+2n+1) + 6n^2+12n+6] = (1/6)*(2n^3+n^2+2n^2+n+6n^2+12n+6) = (1/6)*(2n^3+9n^2+13n+6) = (1/6)*(n+1)(n+2)*(2n+3) (n+1)(n+2)*(2n+3) = (n^2+3n+2)*(2n+3) = 2n^3+6n^2+4n+3n^2+9n+6 = 2n^3+9n^3+13n+6 Ist die oben angegebenen Formel damit bewiesen? Mein Ergebnis unterscheidet sich ja nicht nur in den n+1, sondern bei mir steht am Ende auch (2n+3) und nicht (2n+1). |
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Du solltest vielleicht noch zeigen (nachrechnen), dass die letzte Zeile gleich der vorletzten ist. GRUSS, DK2ZA |
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anonymous 19:55 Uhr, 05.12.2007 |
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| ok! habe ich oben eingefügt. | |
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Nur ein kleiner Tipp am Rande: Wenn du dein Ergebnis nochmal in Klammern fasst, dann sieht man besser, dass die Induktion stimmt. Oh, ich seh grad, mein Tipp hat sich verflüchtigt, hast du ja eh gemacht. Mir ist erst nicht aufgefallen, dass du das danach nochmal nachgerechnet hast. Übrigens: nach akademischen Standard müsstest du das bei so ersichtlichen Dingen gar nicht noch extra zeigen.
Aber noch was am Rande, zur Selbstkontrolle: Deine Ausgangsversion war ja: . Wenn du hier für JEDES n, n+1 einsetzt, siehst du, welches Ergebnis du bei der Induktion erhalten musst, also eben das was oben steht. Also hast du genau richtig indiziert. Das ist auch nochmal immer eine Kontrolle, ob man es richtig hat. Wenn du übrigens das 1²+2²+...+n² in einer Summe geschrieben hättest wärs übersichtlicher geworden, aber das sind Feinheiten. Bist du eigentlich LK-Mathe? Denn wir haben das in der Schule so nie gemacht, nur halt jetzt im Studium. |
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anonymous 17:21 Uhr, 06.12.2007 |
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Hi! Ja, ich bin in einem LK, oder erhöhtes Niveau heißt es jetzt... du hast recht ich habe vergessen bei der letzten Klammer für n = n+1 einzusetzen bei der kontrolle. dann ergibt sich: (2n+1) --> (2(n+1)+1)=(2n+2+1)=(2n+3) |
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