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vollständige Induktion. schwer

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jackson

jackson aktiv_icon

14:00 Uhr, 23.10.2011

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Hallo, ich soll für alle

n, k

Element

ℕ

mit der Null und

n \geq k

zeigen, dass gilt

\sum_{j = k}^{n} (\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

Ich glaub das man dass mit der vollständigen Induktion beweisen muss, jedoch kriege ich das überhaupt nicht hin.
Schon der Induktionsanfang bereitet mir Problem, da ich nicht weiß wie ich mit

j = k

umgehen soll.
Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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prodomo

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14:13 Uhr, 23.10.2011

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Am Anfang ist doch

(\begin{matrix} j \\ j \end{matrix}) = (\begin{matrix} j + 1 \\ j + 1 \end{matrix}) = 1

.

Antwort

prodomo

prodomo aktiv_icon

14:20 Uhr, 23.10.2011

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Induktionsschritt:

\sum_{j = k}^{n} (\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

. Daraus folgt

\sum_{j = k}^{n + 1} (\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

.
Jetzt solltest du versuchen, die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten zu schreiben und die Summe auf der rechten Seite dann als

(\begin{matrix} n + 2 \\ k + 1 \end{matrix})

darzustellen.

jackson

jackson aktiv_icon

15:50 Uhr, 23.10.2011

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Hallo, danke für deine Antwort.

(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

ausgeschrieben

\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - (k + 1)!) (k + 1)!} + \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - k)!} k!)

= \frac{(n + 1)!}{(n - k)!} (k + 1)!) + \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - k)!} k!)

Jetzt schaffe ich es aber nicht das weiter umzuformen. Ich glaub ich sollte es auf den gleichen Nenner bringen. Aber das schaff ich nicht.

Gruß

jackson

jackson aktiv_icon

07:34 Uhr, 24.10.2011

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Kann mir bei dieser Aufgabe keiner helfen??

Antwort

Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

08:14 Uhr, 24.10.2011

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Hallo,

wir haben

\frac{(n + 1)!}{(n - k)! \cdot (k + 1)!} + \frac{(n + 1)!}{(n - k + 1)! \cdot k!}

Den ersten Bruch erweitern wir mit

(n - k + 1)

und den zweiten mit

(k + 1) :

\frac{(n + 1)! \cdot (n - k + 1)}{(n - k)! \cdot (n - k + 1) \cdot (k + 1)!} + \frac{(n + 1)! \cdot (k + 1)}{(n - k + 1)! \cdot k! \cdot (k + 1)} =

\frac{(n + 1)! \cdot (n - k + 1)}{(n - k + 1)! \cdot (k + 1)!} + \frac{(n + 1)! \cdot (k + 1)}{(n - k + 1)! \cdot (k + 1)!} =

\frac{(n + 1)! \cdot (n - k + 1) + (n + 1)! \cdot (k + 1)}{(n - k + 1)! \cdot (k + 1)!}

Jetzt mußt Du im Zähler nur noch

(n + 1)!

ausklammern und den Rest zusammenfassen und im Zähler schreibst Du

n - k + 1 = n + 2 - k - 1 = (n + 2) - (k + 1)

. Den Rest schaffst Du jetzt vielleicht selbst.

Viele Grüße
Yokozuna

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