 |
 |
 |
 |
 |
 |
vollständige induktion
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Ungleichungen, Vollständige Induktion
 
|
  |
|---|
|
Hallo! ich hab eine Frage zur vollständigen Induktion mit Ungleichungen. Bei der vollständigen Induktion mit Gleichungen kenn ich mich eigentlich gut aus, aber dieses Bsp versteh ich echt gar nicht...
(1+a1)*(1+a2)*(1+a3)...(1+an)>1+Summe aus(ai) wobei a1>0,n=2,3,... nun habe ich diese Ungleichung umgeschrieben Produkt aus(1+ai)>1+Summe aus (ai) jeweils i=1 bis n
und weiß auch dass das die Weierstraß-Ungleichung ist.. allerdings wie beweise ich diese Ungleichung????
lg |
|
 |
|
Hallo! Ich glaube, die Ungleichung gilt nur, wenn alle a_n größer als 0 sind, oder? Beweis per Induktion funktioniert vom Prinzip her genauso wie bei Gleichungen, also muss zunächst mal der Induktionsanfang her: n = 2: (1+a1)*(1+a2) größer als 1 + a1 + a2 1 + a1 + a2 + a1*a2 größer als 1 + a1 + a2 richtig für a1, a2 größer 0 Induktionsschritt n + 1: Produkt aus (1+a_i) von i = 1 bis n+1 = [Produkt aus(1+a_i) von i = 1 bis n] *(1+a_(n+1)) Jetzt Induktionsannahme benutzen, dass die Formel für a_n gilt: größer als (1+summe(a_i) von i = 1 bis n)*(1+a_(n+1)) = (1 + [summe(a_i) von i = 1 bis n] + a_(n+1) + [summe(a_i) von i = 1 bis n]*a_(n+1) größer als (1 + [summe(a_i) von i = 1 bis n] + a_(n+1) =( 1+ summe(a_i) von i = 1 bis n+1 ) womit die Formel bewiesen wäre Gibt's Fragen? |
 |
|
ahm ja...und zwar beim ersten größer als (vom Induktionsschritt) wo es heißt: größer als (1+summe(a_i) von i = 1 bis n)*(1+a_(n+1))
also größer als 1+summe .... *(1+a_(n+1) warum wird hier mit (1+a_(n+1) multipliziert anstatt (1+summe(a_i) von i=1 bis n) + a_n+1) addiert?! es wird dann erst einen schritt später addiert..mmmh
lg |
|
|
|
bzw warum für das Produkt n+1 und nicht für beide??also produkt und summe n+1 |
|
|
|
bzw warum für das Produkt n+1 und nicht für beide??also produkt und summe n+1 |
|
|
|
Hallo! Du setzt in dem Schritt einfach nur die Induktionsvorraussetzung ein, ich schreib's nochmal ausführlich: Induktionsvorraussetzung ist doch: [ Produkt aus(1+a_i) von i = 1 bis n ] ist größer als [ 1+summe a_i von i = 1 bis n ] Also nochmal alle Schritte: Produkt aus (1+a_i) von i = 1 bis n+1 - nur umformen(Faktor 1+a_(n+1) herausziehen) = [Produkt aus(1+a_i) von i = 1 bis n] *(1+a_(n+1)) - Jetzt Induktionsannahme benutzen, dass die Formel für a_n gilt (s.o.), hinten der Rest bleibt stehen größer als (1+summe(a_i) von i = 1 bis n)*(1+a_(n+1)) - umformen: ausmultiplizieren, jedes mit jedem multiplizieren = (1 + [summe(a_i) von i = 1 bis n] + a_(n+1) + [summe(a_i) von i = 1 bis n]*a_(n+1) - wenn ein Summand wegfällt, wird die Summe kleiner, (a+b+c+d ist größer als a+b+c) größer als (1 + [summe(a_i) von i = 1 bis n] + a_(n+1) - zusammenfassen zu einer Summe: =( 1+ summe(a_i) von i = 1 bis n+1 ) |
|
|
|
ok. ich glaub ich habs ;)
vielen dank
lg |
|
|
|
ok, ich glaub ich habs ;)
vielen dank
lg |
