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Integration

Tags: Integration

jcm1989 aktiv_icon

15:03 Uhr, 14.09.2011

(x-1)²+y²+z²<=4, x²+y²<=1, z>=0, y>=0

kann mir jemand helfen, und mir eklären wie ich da auf meine grenzen fürs voluenintegral komme?

ganz allgemein: wie lege ich meine grenzen bei volumenintegralen fest?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

el holgazán aktiv_icon

15:38 Uhr, 14.09.2011

Das Volumenintegral hat ja die form:

\int (\int (\int d x) d y) d z

, wobei die Reihenfolge der x,y,z vertauscht werden kann. Das bedeutet, dass während dem Integrieren, im Fall der Reihenfolge von oben, x von y und z abhängen darf und y von z - aber sonst gibt es keine Abhängigkeiten.

Wir fangen mit dem äussersten Integral an, da wir wissen dass z nicht von x oder y anhängen darf. Wir wissen:

z \geq 0

, also haben wir schonmal die untere Grenze für z.
Nun denken wir darüber nach, wie wir die obere Grenze von z herausfinden können. Wir merken aber, dass das gar nicht so einfach ist. Einfacher wäre es für y, da wir da eine obere und untere Abschätzung haben, die nur wenige Variablen betreffen.
Also entschliessen wir uns kurzerhand die Reihenfolge der Variablen zu vertauschen:

\int (\int (\int d x) d z) d y

Wir wissen nun

y \geq 0

also haben wir die untere Grenze von y. Die untere Grenze von z haben wir ja schon bestimmt, und das hat immer noch Gültigkeit.
Weiter mit

x^{2} + y^{2} \geq 1

. Wir wissen nicht was x ist, aber wir wissen bestimmt, dass

x^{2}

grösser ist als 0. Also können wir sicher sagen, dass y nie grösser wird als 1.

\int_{0}^{1} (\int_{0} (\int d x) d z) d y

Da nun y zwischen 0 und 1 ist, zwingt diese Ungleichung auch x zwischen 0 und 1 zu sein. Also:

\int_{0}^{1} (\int_{0} (\int_{0}^{1} d x) d z) d y

Wir sehen jetzt, dass es sogar noch cleverer gewesen wäre z nach ganz innen zu nehmen. Ja, warum nicht?

\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} (\int_{0} (d z) d x) d y

Und nun müssen wir nur noch die letzte Ungleichung bearbeiten um auf die obere Grenze von z zu kommen. Das überlass ich aber dir ;-)

jcm1989 aktiv_icon

16:24 Uhr, 14.09.2011

das versteh ich nicht ganz? sollte es nicht

0 < y < 1,

-sqrt(1-y²) < x < sqrt(1-y²)

und 0 < z < sqrt(4-x²-y²)

heißen?

die grenze im y bereich ist doch nicht konstant 1? das wär doch ne gerade?

Gerd30.1 aktiv_icon

19:57 Uhr, 14.09.2011

(1)

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 \Rightarrow z \leq \sqrt{4 - y^{2} - {(x - 1)}^{2}} \leq 2

(2)

x^{2} + y^{2} \leq 1

ist also ein Kreis in der xy-Ebene mit der Fläche

π,

also
(3)

V = \int_{0}^{2} π d z = 2 π

pwmeyer aktiv_icon

08:17 Uhr, 15.09.2011

Hallo,

vielleicht ist es klar, aber ich erwähne es mal:

x^{2} + y^{2} \leq 1 :

Kreis um

(0,0)

mit Radius 1

{(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 4

(x-y-ebene, also

z = 0) :

Kreis um

(1,0)

mit Radius 2

Der erste Kreis ist in dem zweiten enthalten. Die Bedingung

y \geq 0

schneiden daraus einen Halbkreis aus. Der Körper liegt uber diesem Halbkreis und wird durch die erste Bedingung begrenzt.

Also:

- 1 \leq x \leq 1

und

0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}

und

0 \leq z \leq \sqrt{4 - y^{2} - {(x - 1)}^{2}}

.

Gruß
pwm

Gerd30.1 aktiv_icon

10:18 Uhr, 15.09.2011

Korrektur:

x^{2} + y^{2} \leq 1

ist ein Kreis um

(0 | 0 | 0)

mit

r = 1

x-y-Ebene,

{(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4

ist eine Kugel um

(1 | 0 | 0),

deshalb handelt es sich auch nicht um einen Zylinder. Das Volumenintegral ist

\int_{- 1}^{1} (\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} (\int_{0}^{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2} - y^{2}}} d z) d y) d x

jcm1989 aktiv_icon

17:42 Uhr, 16.09.2011

habe schon probiert auch auf zylinderkoordinaten umzuformen, aber da komm ich nicht weiter.
fürs zyl-ks hätt ich:

0 < r < 1

0<φ<Π

0 < z <

Sqrt

[

4-(x-1)²-y²], wobei x=r⋅cos(φ) und y=r⋅sin(φ)
aber da macht mir eben das integral zu schaffen!

bitte um hilfe, ist recht dringend! danke

ps:
x²+y²<=1 ...zylinder mit

M = 0,0,0

und

R = 1

(x-1)²+y²+z²<=4...kugel mit

M = 1,0,0

und

R = 2

z>=0...oberer halbraum
y>=0...vorderer halbraum ...ist mir schon bekannt.

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