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von 1-elementigen Teilmengen erzeugte sigma-Algebr
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Maßtheorie
 
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Hey Ich habe folgende Aufgabe: Sei S (abzählbare oder überabzählbare) Menge a) Welches ist die von allen einelementigen Teilmengen erzeugte Sigma-Algebra b) Welches sind dann die messbaren Abbildungen ------------------------------- ad a) Da die Sigma-Algebra ja alle Vereinigungen und Komplemente meines Erzeugenden-Systems enthalten muss ist die hier entstehende Sigma-Algebra die Produktmenge von S. Also . Weil ja jede Teilmenge von S als Vereinigung von 1-elementigen Teilmengen geschrieben werden kann. stimmt das soweit? ad b) ist somit jede Funktion auch messbar? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Dein Antwort zu a) stimmt nur, wenn eine höchstens abzählbare Menge ist. Wenn überabzählbar ist, dann ist die von den Einermengen erzeugte Sigma-Algebra NICHT die Potenzmenge, sondern deutlich kleiner: Es ist das Mengensystem, welches alle diejenigen Teilmengen von enthält, die entweder selbst oder deren Komplement höchstens abzählbar sind. (*) Diese Antwort ist selbstverständlich auch dann gültig, wenn eine höchstens abzählbare Menge ist, denn in diesem Spezialfall beschreibt (*) auch tatsächlich die Potenzmenge . Damit solltest du dann auch deine Antwort zu b) überdenken. |
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zu b) Eine Funktion ist ja messbar wenn Mir fällt aber gerade keine Funktion ein die auf dieser sigma-Algebra (auch für den allgemeinen Fal) nicht messbar wäre. |
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> Mir fällt aber gerade keine Funktion ein die auf dieser sigma-Algebra (auch für den allgemeinen Fal) nicht messbar wäre. Mir schon, und zwar eine sehr einfache: und > Eine Funktion ist ja messbar wenn Nein: Die Urbild-Abbildung ist nicht auf , sondern auf der Potenzmenge definiert. Für Messbarkeit muss nun dieses zumindest für alle Borelmengen von gelten. |
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Danke |
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Hast du denn nun eine Antwort zu b) gefunden? D.h., um beim Beispiel zu bleiben: Was müsste eine reelle Funktion erfüllen, damit sie messbar ist bzgl. der obigen von den Einermengen erzeugten Sigma-Algebra? EDIT (22.10.): Ok, großes Schweigen. Dann ergänze ich es noch: ist genau dann messbar hinsichtlich dieser Einermengen-Sigmaalgebra, wenn es eine reelle Zahl sowie eine höchstens abzählbare Teilmenge von gibt, so dass für alle gilt. Ist selbst bereits höchstens abzählbar, dann ist diese Bedingung offenkundig immer erfüllt, denn mit Wahl von ist dann "Bedingung" für kein zu erfüllen, also nichtig. Haben wir hingegen bzw. irgendein reelles Intervall positiver Länge, dann ist diese Forderung schon relativ hart: Es ist dann schon NOTWENDIG, dass die Funktion Lebesgue-fast überall konstant ist, aber selbst das ist nicht hinreichend - es gibt schließlich auch Lebesgue-fast überall konstante Funktionen, wo die Ausnahmemenge überabzählbar ist (kann man beispielsweise mit der Cantormenge konstruieren). |
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