Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » von Metrik erzeugte Topologie Beweis

von Metrik erzeugte Topologie Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Metrische Räume, Norm, Topologie

Ninad aktiv_icon

19:27 Uhr, 26.11.2014

Hallo zusammen!

Es geht um diese Aufgabe:

Sei

X = ℝ^{n}, p \in [1, \infty]

und

d_{p} (x, y) := | | x

−

y | |_{p}

. Dann erzeugen alle

d_{p}

auf

ℝ^{n}

die
gleiche Topologie.

Okay, viel Ahnung hab ich hierbei nicht. Hatte gedacht, man könnte das ganze beweisen, indem man zeigt, dass

d_{p} (x, y)

für alle

p \in [1, \infty]

gleichmäßig äquivalent sind und dann daraus schließen, dass alle

d_{p}

die gleiche Topologie erzeugen.
Weiß aber nicht, ob das überhaupt ein angebrachter Weg ist..
Hoffe, ihr könnt mir weiter helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:24 Uhr, 27.11.2014

Hallo,

das ist auf jeden Fall ein richtiger Ansatz. Ich würde dann zeigen, dass für jede

p

der Abstand äquivalent ist zu

d_{\infty}

.

Je nachdem, was Ihr über Topologie wisst, kannst Du einfach zeigen, dass bei allen Abständen der zugehörige Konvergenzbegriff die komponentenweise Konvergenz ist.

Ich vermute allerdings, dass eher ersteres von Dir erwartet wird.

Gruß pwm

Ninad aktiv_icon

13:02 Uhr, 27.11.2014

Hey, danke für die Antwort :-)

Hmm leider haben wir erst letzte Woche mit dem Thema angefangen und ich weiß noch gar nicht damit umzugehen.. Habe ein wenig in meinen Unterlagen und im Internet gestöbert, aber ich komm selbst nicht drauf, wie ich das mit der Äquivalenz zeigen kann. Wir hatten dazu nur mal folgenden Satz aufgeschrieben:

Seien

X

eine Menge und

d_{1}, d_{2}

zwei Metriken auf

X

d_{1}

und

d_{2}

heißen gleichmäßig äquivalent, wenn es Konstanten

c > 0

und

C > 0

gibt, so dass

c d_{1} (x, y) \leq d_{2} (x, y)

≤

C d_{1} (x, y)

für alle

x, y \in X

gilt.

Ich weiß leider nicht, wie ich das anwenden kann..

pwmeyer aktiv_icon

13:49 Uhr, 27.11.2014

Na ja, dann musst Du eben eine Konstante

C

finden, so dass

für alle

x, y : d_{p} (x, y) \leq C \cdot d_{\infty} (x, y)

- um mal mit einem Teil anzufangen.

Gruß pwm

Ninad aktiv_icon

13:57 Uhr, 27.11.2014

Hmm mir fehlt aber gerade die Idee, wie ich so eine Konstante

C

bzw

c

finden kann, wenn ich gar nicht weiß, was

d_{p} (x, y) = {| | x - y | |}_{p}

ist.
Wahrscheinlich ist es gar nicht so kompliziert, wie ich gerade denke^^

pwmeyer aktiv_icon

14:14 Uhr, 27.11.2014

Du solltest die Definition von

d_{p}

in Deinem Skript / Übungsaufzeichnungen finden. Wäre das nicht das erste, was bei dieser Aufgabe zu tun ist?

Gruß pwm

Ninad aktiv_icon

14:28 Uhr, 27.11.2014

Wir haben die Definition

{| | x | |}_{p}

als die p-Norm. Hier also

d_{p} (x, y) = {| | x - y | |}_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} - y_{i} |}^{p})}^{\frac{1}{p}}

Ist das richtig?

pwmeyer aktiv_icon

14:38 Uhr, 27.11.2014

Ja, das ist die übliche Definition.

Jetzt kannst Du diesen Ausdruck nach oben abschätzne mit Hilfe von

d_{\infty} (x - y) = max_{i} (| x_{i} - y_{i} |)

Gurß pwm

Ninad aktiv_icon

15:20 Uhr, 27.11.2014

Hmm also so ganz komm ich hier noch nicht klar, ich komm nicht drauf wie ich diese Konstanten finden kann. Aber vielleicht klappt's ja noch im Laufe des Tages :-D)
Danke auf jeden Fall für die Hilfe!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1201608

1201516

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?