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wann f(x) und wann F(x)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

NinaNormal aktiv_icon

18:41 Uhr, 09.01.2025

Hallo liebes Forum,

endlich mal wieder eine Frage an euch.
Ich bin ein wenig verwirrt.

Also,
wenn ich eine Funktion

f (x)

habe muss ich doch eigentlich die Funktion aufleiten um den Flächeninhalt zu bekommen,
der zwischen Kurve und x-Achse ist ,… naja usw.,

Also:

1. Nullstellen bestimmen
2. Intervall aufstellen
3. Stammfunktion

F (x)

bilden
4. dann integral mit Stammfunktion berechnen

Ich habe jetzt eine Aufgabe, bei der würde ich genauso vorgehen.
Man arbeitet aber nicht mit der Stammfunktion sondern mit

f (x)

.

Warum?

Ich mein, ist super! Damit kann ich es lösen.
Ich würde von allein nur nicht drauf kommen weil ich ja erst

F (x)

bilden wollen würde.

Was berechne ich denn wenn ich anstatt

F (x) f (x)

einsetze?

Danke scgonmal im Voraus.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pivot aktiv_icon

18:52 Uhr, 09.01.2025

Hallo Nina,

dein Vorgehen ist soweit richtig. Wäre gut wenn du mal hochladen würdest (im jpg-Format) was da genau gemacht worden ist, inklusive Aufgabenstellung.

Gruß
pivot

NinaNormal aktiv_icon

19:00 Uhr, 09.01.2025

Sehr gerne.

Aufgabe

a 5

ist es.

Lösung dazu im 2. Bild.

NinaNormal aktiv_icon

19:03 Uhr, 09.01.2025

Intervallgrenzen hab ich auch. Also

20

und

32

.
Nur das man

f (x)

nimmt verstehe ich nicht.

calc007

19:07 Uhr, 09.01.2025

Um wirklich zu verstehen, was der Hintergrund deines Anliegens ist, müsstest du schon besser mitwissen lassen, wie deine Aufgabenstellung lautet.
Bedenke:
"f(x)"
und
"F(x)"
sind zwar weitgehend üblich und Schul-geläufig,
ABER
es sind Bezeichner, Groß- und Klein-Buchstaben, die definiert, erklärt und daher auch anpassungsfähig / willkürlich.
Es wird dich niemand hindern können, deiner Grundfunktion die Bezeichnung

r (η)

oder deine Stammfunktion

α (v)

oder eine Ableitung

T_{1} (q)

zu taufen,
vorausgesetzt, dass du dir und allen Lesern klar machst und erklärst, was das sein soll und wie es zu verstehen ist.

Bedenke doch einfach mal ein einfaches Beispiel aus der Physik.
Dort ist doch

v = \int a \cdot d t

und niemand erwartet hier ein

A (t) = \int a \cdot d t

Und es ist

s = \int v \cdot d t

und niemand erwartet hier ein

V (t) = \int v \cdot d t

Es kommt eben auf den Zusammenhang an.
Und es ließen sich bestimmt noch tausende Beispiele konstruieren, in denen du dem Integral der siebten Ableitung irgend einen pragmatischen Nutzen einhauchen wolltest.

pivot aktiv_icon

19:10 Uhr, 09.01.2025

Es wird doch r(x) integriert um das Flächenstück zu berechnen. Mir ist nicht ganz klar wo du jetzt etwas nicht nachvollziehen kannst. Hättest du es anders gemacht? Und wenn ja, wie und warum.

NinaNormal aktiv_icon

19:30 Uhr, 09.01.2025

Ich hätte

r (x)

aufgeleitet und damit gerechnet. Es wird aber ohne Aufleitung gerechnet.

NinaNormal aktiv_icon

19:33 Uhr, 09.01.2025

Man setzt hier in r(x)für

x = 32

und

x = 20

ein und rechnet das dann aus.
Super…

Aber eigentlich wird das doch mit der Stammfunktion von

r (x)

berechnet.
Also man leitet

r (x)

doch auf, erhält dann

R (x)

und setzt dann

x = 32

und

x = 20

ein…

Das wird doch bei der Suche nach einer Fläche immer so gemacht…. Oder?

Außer man hätte die Stammfunktion bereits. Aber dem ist hier ja nicht so.

HAL9000

19:48 Uhr, 09.01.2025

Es sollte mal in die Boardregeln die nachdrückliche Empfehlung aufgenommen werden, dass die Bilder so zu posten sind, dass man sie direkt im Browser ohne lästige Kopfdrehung lesen kann...

pivot aktiv_icon

19:49 Uhr, 09.01.2025

Es wird ja aufgeleitet und gleich die Grenzen eingesetzt. Du musst natürlich auch erst einmal aufleiten (ohne Grenzen) und dann die Grenzen einsetzen. So wird ja auch gerechnet, wenn du einen "normalen" verwendest Taschenrechner.

\int \frac{253}{100} \cdot (e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} - 1)

d x = - 253 x / 100 - 2783 / 100 \cdot e^{(32 - x) / 11}

(Integrationskonstante weggelassen)

Nun die Grenzen einsetzen.

NinaNormal aktiv_icon

20:01 Uhr, 09.01.2025

Okay, du hast recht!

Dann frage ich mich wie kommt man auf

−253x/100−2783/100⋅e^(32−x)/11

?

Das ist dann ja wsl

R (x)

pivot aktiv_icon

20:25 Uhr, 09.01.2025

Ich fokussiere mich mal auf

\frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

Der konstante Faktor bleibt so bei der Aufleitung erhalten. Ich lass den mal weg und füge in später wieder hinzu, wegen der Übersichtlichkeit.

g (x) = e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

Allgemein ist die Ableitung von

\frac{1}{f^{ʹ} (x)} \cdot e^{f (x)}

gleich

e^{f (x)}

. D.h. für die Aufleitung bzw. Integration, dass man durch die Ableitung des Exponenten teilen muss. Die Ableitung von

\frac{1}{11} \cdot (32 - x) = \frac{1}{11} \cdot 32 - \frac{1}{11} \cdot x

ist

- \frac{1}{11}

. Die Konstante

\frac{1}{11} \cdot 32

fällt weg.

G (x) = \frac{1}{- \frac{1}{11}} e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

= - 11 \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

Nun noch den Konstanten Faktor wieder hinzufügen:

- 11 \cdot \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

= - \frac{2783}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

michaL aktiv_icon

20:40 Uhr, 09.01.2025

Hallo,

> Dann frage ich mich wie kommt man auf
>
> −253x/100−2783/100⋅e^(32−x)/11

Ich verwende den Ausdruck

\int f (x)

hier abkürzend (und formal nicht ganz sauber) als Stammfunktion für

f

, d.h. es gilt

{(\int f (x))}^{ʹ} = f (x)

r (x) = \frac{253}{100} \cdot (e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} - 1) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} - \frac{253}{100}

\Rightarrow R (x) = \int \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} - \frac{253}{100} = \int \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} - \int \frac{253}{100}

\int \frac{253}{100} = \frac{253}{100} \cdot x

\int \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} = \frac{253}{100} \cdot \int e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

Und

\int e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

erarbeitet man sich am einfachsten dadurch, dass man mal

{(e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)})}^{ʹ} = - \frac{1}{11} e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

mithilfe der Kettenregel berechnet.

Dann findet man:

\frac{253}{100} \cdot \int e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)} = - 11 \cdot \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}

.

Dann komponierst du beides und erhältst die von pivot angegebene Stammfunktion.

Mfg Michael

PS: Entschuldigung, hatte die Antwort noch nicht gelesen.

NinaNormal aktiv_icon

22:25 Uhr, 09.01.2025

Schau ich mir morgen nochmal an. Vorerst schonmal danke.

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