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wann ist ein vektorfeld konservativ?

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Tags: Vektorraum

mare20 aktiv_icon

13:59 Uhr, 05.02.2010

Hi ich hab mich gefragt wann ein vektorfeld konservativ ist und was das eigentlich bedeutet?

wenn ich nun

K (x, y) = (\frac{1}{x}

hoch2

+ y

hoch2))*

(- y, x)

habe und zeigen will ob dieses Vektorfeld konservativ ist wie mach ich das ?

Gruss und schonmal Danke

Mare

20

smoka

14:59 Uhr, 05.02.2010

Ein Vektorfeld ist konsertvativ, wenn die Arbeit die geleistet wird um vom punkt A nach B zu gelangen unabhängig vom Weg ist. Das bedeutet dass keine Arbeit "verloren" geht, deswegen konservativ.
Mathematisch formuliert bedeutet das, dass die Rotation des Feldes verschwindet, also:
rot

F = \nabla \times F = 0

Ich kann Dein Vektorfeld leider nicht entziffern... (Formeleditor wirkt manchmal Wunder ;-))

mare20 aktiv_icon

15:42 Uhr, 05.02.2010

Also das Vektorfeld lautet:

$k (x, y) = (1 ∖ (x \land 2 + y \land 2)) * (- y; x)$

so ich hoffe man erkennt das jetzt.

Gruss Mare20

smoka

15:55 Uhr, 05.02.2010

Das ist auch nicht wirklich besser... Mit viel Phantasie könnte ich da eine Funktion die von zwei Variablen abhängt reininterpretieren, aber beim besten Willen kein Vektorfeld.
In der Regel sieht ein Vektorfeld so aus:

F (x, y, z) = (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{array}) = F_{x} (x, y, z) e_{x} + F_{y} (x, y, z) e_{y} + F_{z} (x, y, z) e_{z}

mare20 aktiv_icon

16:25 Uhr, 05.02.2010

ich hab hier auch ein problem die rotation zu berechnen, wie das geht ist klar, aber hier versteh ich es nicht.

smoka

16:28 Uhr, 05.02.2010

"wie das geht ist klar, aber hier versteh ich es nicht."
Also daraus werde ich nicht schlau. Entweder Du weißt wie es geht, oder Du verstehst es nicht?!
Im Prinzip musst Du nur das Kreuzprodukt von Nabla mit K berechnen.

mare20 aktiv_icon

20:28 Uhr, 05.02.2010

ALSO:
wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt wäre, also wenn:
dFx/dy=dFy/dx
dann ist doch die Rotation=0 oder und das Vektorfeld

K (x, y) = 0

.

Mein Problem ist nun:

k (x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \cdot (- y; x)

das ist doch gerechnet einfach:

K (x, y) = (- \frac{y}{x^{2} + y^{2}};

\frac{x}{x^{2} + y^{2}})

?

Muss ich nun

- \frac{y}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

rechnen und dann die Rotation berechnen oder lautet es

- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

nach

d x

und

d y

jeweils rechnen und

\frac{x}{x^{2} + y^{2}}

nach

d x

und

d y

rechnen und dann ?

smoka

21:04 Uhr, 05.02.2010

Wenn ich das richtig interpretiere sieht das Vektorfeld so aus:

F (x, y, z) = (\begin{array}{c} - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \\ 0 \end{array})

Um zu prüfen, ob es konservativ ist, musst Du die Rotation berechnen, also:

\nabla \times F = (\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}) \times (\begin{array}{c} - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \\ 0 \end{array}) = ?

Wenn 0 raus kommt ist es konservativ, andernfalls nicht.

mare20 aktiv_icon

21:07 Uhr, 05.02.2010

Ah ok, das hilft weiter danke, ich rechne gleich mal .

mare20 aktiv_icon

21:44 Uhr, 05.02.2010

So,nun hab ich folgendes Ergebnis:

napla*F=(-2xy/(x^4+2(x^2-y^2)+y^4); -2xy/(x^4+2(x^2-y^2)+y^4))

da beides gleich ist ist die rot=0 und somir ist das Vektorfeld konservativ, richtig?

smoka

12:05 Uhr, 06.02.2010

Also ich komme auf folgendes:

(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}) \times (\begin{array}{c} - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - \frac{2 (x^{2} - y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \end{array}) \neq 0

ich bin mir aber bezüglich der Interpretation nicht sicher, denn es handelt sich ja eigentlich nur um ein 2-D Vektorfeld und hier ist die z-Koordinate ungleich Null.
Vielleicht weiß jemand mehr.

mare20 aktiv_icon

12:29 Uhr, 06.02.2010

Ich hatte mir zu meiner Rechnung überlegt, dass es sich hierbei vielleicht um ein ebenes Vektorfeld handelt, dann wäre die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn dFx/dy=dFy/dx wäre.
Ich dachte so könnte ich das auch machen.
Weil ich ja keine

z

Komponente habe.
Vielleicht würde es sonst auch so gehen, dass rot (dvx/dx)- (dvx/dy)=0
denn dieses gilt auch für ein ebenes Vektorfeld.

pwmeyer aktiv_icon

13:11 Uhr, 09.02.2010

Hallo,

die von Smoka angegebene Rechenweg ist doch dasselbe wie die Bedingung

\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d F_{y}}{d x}

weil das Problem eben 2-dimensional ist.

Gruß pwm

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