Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » wann ist eine formale Potenzreihe eine Einheit

wann ist eine formale Potenzreihe eine Einheit

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Einheit, formale Potenzreihe, Ring

freed aktiv_icon

14:13 Uhr, 18.08.2010

wie zeige ich, dass eine formale Potenzreihe

\sum (a_{i} \cdot X^{i}) \in ℝ [[X]]

genau dann eine Einheit ist, wenn

a_{0}

eine Einheit ist?

Was ist denn genau der Unterschied zwischen einer Potenzreihe und einer formalen Potenzreihe?

gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.08.2010

Einfach ausgedrückt: Der Zusatz "formal" soll dich davon abhalten, davon auszugehen, dass solch ein Ungetüm für irgendeine reelle Zahl

x \neq 0

konvergiert, wenn man

x

für

X

einsetzt.
Das ist so ähnlich wie der Unterschied zwischen einem Polynom und einer Polynomfunktion.

Die Aufgabe über die Einheit zeigst du, indem du eine Potenzreihe

\sum b_{i} X^{i}

angibst mit

(\sum a_{i} X^{i}) (\sum b_{i} X^{i}) = 1

.
Am einfachsten behandelst du zuerst den Fall

a_{0} = 1

und verwendest anschließend

f (X) \cdot g (X) = (a_{0}^{- 1} \cdot f (X)) \cdot (a_{0} \cdot g (X))

freed aktiv_icon

11:35 Uhr, 20.08.2010

hey!

kannst du mir noch einen weiteren schritt angeben? so komme ich noch nicht weiter.

hagman aktiv_icon

21:19 Uhr, 20.08.2010

Behauptung: Ist

A

ein Ring mit 1 und

\sum a_{i} X \in A [X]]

mit

a_{0} \in A^{⋆},

so gibt es

\sum b_{i} X^{i} \in ℝ [[X]]

mit

b_{0} = a_{0}^{- 1}

und

(\sum a_{i} X) \cdot (\sum b_{i} X) = 1

.
Hierzu muss für jedes

n \in ℕ_{0}

ein geeigeter Wert

b_{n} \in A

bestimmt werden
Es gilt

(\sum a_{i} X) \cdot (\sum b_{i} X) = \sum c_{i} X,

wobei

c_{n} = \sum_{i + j = n} a_{i} b_{j}

.
Insbesondere gilt wie gewünscht

c_{0} = a_{0} b_{0} = a_{0} \cdot a_{0}^{- 1} = 1,

wenn wir nur

b_{0} = a_{0}^{- 1}

wählen.
Für

n > 0

soll

c_{n} = 0

gelten.
Angenommen, es sind

b_{0}, ..., b_{n - 1}

bereits geeignet bestimmt worden.
Dann gilt

c_{n} = a_{0} b_{n} + \sum_{i + j = n, j < n} a_{i} b_{j},

also kann man ohne Probleme rekursiv

b_{n} = - a_{0}^{- 1} \cdot \sum_{i + j = n, j < n} a_{i} b_{j}

setzen.
Mit der so definierten Folge

{(b_{n})}_{n \in N_{0}}

ergibt sich in der Tat

(\sum a_{i} X) \cdot (\sum b_{i} X) = 1

freed aktiv_icon

12:24 Uhr, 23.08.2010

ok, danke.
auf die rekursiv definerite folge bin ich nicht gekommen.

fehlt hierbei nicht noch:

a_{0}

ist keine Einheit

\Rightarrow

die formale Potenzreihe

\sum a_{i} \cdot X^{i} \in A [[X]]

ist keine Einheit?
In der Aufgabenstellung ist eine genau dann Formulierung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

782934

781930

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?