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warum ist A transponiert mal A invertierbar

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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Ruben123

Ruben123 aktiv_icon

18:55 Uhr, 30.12.2015

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A∈Matm×n(ℝ) mit r(A)=n<m

nun soll ich begründen warum ATA invertierbar ist

was ich bis jetzt habe:
es existiert A-1 ,da r(A)=n≠m aber nur die Rechtsinverse/Linksinverse weil es mehr Zeilen gibt als Spalten ( ich weiß nicht welche davon)

ich hab das mal für eine transponierte 3x2 (Rang=2) mal 2x3 Matrix vom Rang 2 gemacht und komme auf eine 3x3 Matrix mit dem Rang=3
und da n=m=r(A) hat die Matrix offensichtlich eine Inverse ( von rechts und von links)

A ist nicht entartet, da r(A)=n
AT ist entartet, da es mehr Spalten als Zeilen gibt deshalb r(A)≠Spalten
das Produkt von zwei nicht entartetetn Matrizen ist ebenfalls nicht entartet und besitz damit eine Inverse


aber wie soll ich das begründen? kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:47 Uhr, 30.12.2015

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Sei ATAx=0. Dann folgt xTATAx=0, also <Ax,Ax>=0 (Skalarprodukt) und damit Ax=0. Da A maximalen Spaltenrang hat, ist sie injektiv. Damit folgt x=0. Also, ATA ist injektiv und weil es eine quadratische Matrix ist, auch invertierbar.
Ruben123

Ruben123 aktiv_icon

20:14 Uhr, 30.12.2015

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ufff das erschlägt mich jetzt ^^ ich blicke da gar nicht mehr durch

was macht der Vektor x nun da?
und warum sollte xTATAx=0 sein? da müsste doch das quadrat von Ax heraus kommen oder nicht? ( ok ich sehe jetzt dass du das festgelegt hast)

kann das Skalarprodukt nicht auch 0 werden wenn die A und x senkrecht aufeinander stehen?
ich weiß nicht wie das für Matrizen aussehen soll aber ich hoffe du verstehst was ich meine
dann müsste ja x nicht umbedingt gleich 0 sein damit die Gleichung aufgeht oder?


und die ist nun invertierbar weil sie injektiv und quadratisch ist?
wie hängt injektivität und Rang zusammen? wie bestimme ich ob eine Matrix injektiv ist?

was ich weiß ist: wenn r(A)=n=m dann ist die Matrix invertierbar




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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:39 Uhr, 30.12.2015

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"was macht der Vektor x nun da?"

Ich zeige Invertierbarkeit dadurch, dass ich die Injektivität zeige (für quadratische Matrizen sind Invertierbarkeit und Injektivität äquivalent - aber nur für quadratische). Also zeige ich, dass aus ATAx=0 zwangsläufig x=0 folgt, dass ist die Injektivität (weil A linear ist).

"und warum sollte xTATAx=0 sein?"

Weil ATAx=0. Also xTATAx=xT⋅0=0.

"kann das Skalarprodukt nicht auch 0 werden wenn die A und x senkrecht aufeinander stehen?"

Wie soll denn bitte schön Matrix und Vektor senkrecht zueinander sein? :-O
Sie liegen nicht mal im selben Raum.

Wenn für Dich diese kompakte Schreibweise mit Skalarprodukten zu unklar ist, kannst Du natürlich auch einfach alles ausschreiben:
A=(aij), x=(x1,...,xn), dann ist ATAX=0 dasselbe wie ∑i=1maik∑j=1naijxj=0 für k=1,...,n und
xTATAx=0 dasselbe wie ∑k=1nxk∑i=1maik∑j=1naijxj=0, was man auch als
0=∑i=1m(∑k=1naikxk)(∑j=1naijxj)=∑i=1m(∑j=1naijxj)2 schreiben kann, woraus ∑j=1naijxj=0 für alle i folgt. Usw.

Ruben123

Ruben123 aktiv_icon

21:01 Uhr, 30.12.2015

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Viel vielen Dank für deine Mühe.

Aber das bringt micht eigentlich nicht weiter, du hast eine komplett andere Herangehensweise als ich und da ich mir bereits einiges an Gedanken dazu gemacht habe (die ich ganz oben aufgeschrieben habe) möchte ich diese ungern verwerfen sondern darauf aufbauen. :-)


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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:35 Uhr, 30.12.2015

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Ich sehe bei Dir keine einzige nützliche Idee, tut mir leid.
Also weiß ich nicht, wie Du darauf aufbauen willst.