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was bedeutet von Norm induzierte Metrik
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Norm Metrik Topologie
 
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Hii :-) kann mir jemand intuitiv erklären, was "von der Norm induzierten Metrik" bedeutet? vor allem das "induzieren" verstehe ich nicht wirklich. Mir ist bewusst, dass jede Norm auch eine Metrik ist, jedoch nicht jede Metrik eine Norm. Danke :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, "Mir ist bewusst, dass jede Norm auch eine Metrik ist ..." Da mußt Du was bewußtseinserweiterndes konsumiert haben, denn eine Norm ist eine Abbildung von EINEM Objekt in die reellen Zahlen, eine Metrik ist eine Abbildung von ZWEI Objekten in die reellen Zahlen! Induziert heist in diesem Falle nichts anderes, als dass die Definition der Metrik auf der Norm beruht. Man nutzt dazu sehr gern für die Metrik Auch ergibt eine Metrik. Vorstellen kann man sich das dann, dass die Norm den Abstand vom Nullpunkt in Zentimeter mißt, die Metrik mißt die Abstände der Objekte untereinander aber in Meter. Im Prinzip sind beide Metriken durch die Norm induziert. Gewöhnlich aber meint man eine Metrik mit und ist das Element mit |
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Hallo Ok, danke schonmal dafür :-) Trotzdem verstehe ich das noch nicht wirklich: BSP: Norm gibt die Länge eines Punktes zum Ursprung an... Sozusagen weiss ich jetzt die Länge von Vektor . und ich kenne auch die Länge von Vektor . Da nun die Norm eine Metrik induziert (mir also den Abstand der Pfeilspitze von und angibt) kenne ich auch den Abstand von und . Aber nur weil ich die Länge der Vektoren kenne kenne ich doch die Richtung der Vektoren noch nicht? Bräuchte ich dazu nicht noch irgendwelche winkel? Verstehst du, was ich meine und siehst du wo ich einen Denkfehler mache :-)? |
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Hallo, der Winkel steckt im Minuszeichen! |
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Ahaaa.... oke warte ich glaube ich sehe jetzt wie das geht... edit: nein doch nicht |
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im Minuszeichen? |
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Hallo, nimm ein Koordinatensystem und zeichne um den Ursprung zwei Kreise bliebigier Länge. Nimm irgendeinen Ortsvektor zum inneren Kreis und einen zum äußeren. Zeichne die Differenz der beidrn Vektoren ein. Mache das selbe mit einem zweiten Paar Ortsvektoren, die einen anderen Winkel zwischen sich hanen. Obwohl bei beiden Paaren die Vektoren die selbe Norm hatten, kommt eine andere Differenz heraus. Jetzt noch zum Schluß ein drittes Paar, das anders liegt, aber den selben Winkel zwischen sich hat. Und was siehst Du? Die selbe Differenz. Offensichtlich berücksichtigt das Minus den Winkel zwischrn den Vektoren! |
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Danke! Jetzt seh ichs! Auch bei der Aussage, dass das Skalarprodukt die Norm indziert, hatte ich Mühe, mir das vorzustellen.... kann man das auch so anschaulich erklären? |
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Hallo, das Skalarprodukt induziert . durch eine Norm und mit dieser Norm kann man den Winkel zwischen Vektoren definieren, . |
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danke! |
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