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wellengleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Ebene, kugelwelle, welle

 
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Sylvia91

Sylvia91 aktiv_icon

00:49 Uhr, 20.05.2012

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Betrachte die Wellengleichung in ℝm:

∂2f∂t2-c2Δf=0. Sei g∈C2(ℝ) gegeben.

a) Seien k∈ℝm,ω=c||x||2. Dann ist f(x,t)=g(k⋅x-ωt)
Lösung der Wellengleichung ("ebene Welle")

b) Seien m=3 und p(x)=||x||2. Dann ist f(x,t)=1p(x) g(p(x)-ct)
Lösung der Wellengleichung ("Kugelwelle")

Also, mir ist klar dass das wahrscheinlich total einfach ist^^
aber ich komme mit dem ableitungen einfach nicht genau klar:S ich weiß nicht wie ich die beiden gleichungen ableiten kann, da mir das alles ziemlich abstrakt vorkommt und ich einfach lieber mit zahlen arbeite.
mir würden wahrscheinlich schon einige ansätze weiterhelfen, und ich weiß auch leider nicht was Δf ist. also wie man das ausrechnet :S
ich hoffe einer von euch könnte mir weiterhelfen!
danke im vorraus.
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Antwort
OmegaPirat

OmegaPirat

01:37 Uhr, 20.05.2012

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müsste die dispersionsrelation bei a) nicht eher ω=c⋅||k||2 heißen?
Δ ist der laplaceoperator

Jedenfalls musst du einfach nur eine geeignete koordinatentransformation durchführen.
Sylvia91

Sylvia91 aktiv_icon

01:54 Uhr, 20.05.2012

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Hallo omegapirat,
Danke schonmal für deine Antwort, aber leider weiss ich trotzdem nicht so genau was ich so wirklich tun muss und was ist eine koordinatentransformation? Muss ich hier nicht ableiten??
Könntest du Vllt einen Ansatz schreiben, damit ich Vllt weiß wie ich anfangen muss?
Das wäre echt Super!!!
Antwort
OmegaPirat

OmegaPirat

16:37 Uhr, 20.05.2012

Antworten
ich mach dir das mal für eine dimension vor. dann ist in kartesischen koordinaten
Δ=∂2∂x2
Die Differentialgleichung lautet dann
∂2f∂t2-c2⋅∂2f∂x2=0
Deine koordinaten sind t und x. in dieser form lässt sich die Gleichung aber nicht so gut lösen. Man kann zu anderen koordinaten übergehen in denen die Gleichung eine einfachere Form hat.
Die neuen koordinaten nenne ich ξ und η
dabei sind ξ und η funktionen von t und x. nun schreibe ich die gleichung in die neuen koordinaten um. das geht mit hilfe der kettenregel:

∂f∂t=∂f∂ξ⋅∂ξ∂t+∂f∂η∂η∂t
∂2f∂t2=(∂2f∂ξ2∂ξ∂t+∂2f∂η∂ξ∂η∂t)∂ξ∂t+∂f∂ξ⋅∂2ξ∂t2+(∂2f∂η2∂η∂t+∂2f∂η∂ξ∂ξ∂t)∂η∂t+∂f∂η⋅∂2η∂t2
für die zweite ableitung nach x geh ich analog vor. damit wird die DGL zu:
(∂2f∂ξ2∂ξ∂t+∂2f∂η∂ξ∂η∂t)∂ξ∂t+∂f∂ξ⋅∂2ξ∂t2+(∂2f∂η2∂η∂t+∂2f∂η∂ξ∂ξ∂t)∂η∂t+∂f∂η⋅∂2η∂t2-
c2((∂2f∂ξ2∂ξ∂x+∂2f∂η∂ξ∂η∂x)∂ξ∂x+∂f∂ξ⋅∂2ξ∂x2+(∂2f∂η2∂η∂x+∂2f∂η∂ξ∂ξ∂x)∂η∂x+∂f∂η⋅∂2η∂x2)=0

In dieser Form ist die transformation noch ganz allgemein. sie vereinfacht sich aber wenn ich eine lineare transformation ansetze, nämlich
ξ=ax+bt
η=kx+dt
⇒

(∂2f∂ξ2b+∂2f∂η∂ξd)b+(∂2f∂η2d+∂2f∂η∂ξb)d-
c2((∂2f∂ξ2a+∂2f∂η∂ξk)a+(∂2f∂η2k+∂2f∂η∂ξa)k)=0

bzw.
∂2f∂ξ2(b2-c2a2)+∂2f∂η2(d2-k2⋅c2)+2⋅∂2f∂η∂ξ(bd-c2⋅k⋅a)=0
Jetzt kannst du a,b,k und d (fast) frei wählen. fast, weil natürlich ξ und η voneinander unabhängig sein müssen, was z.B. durch a=b=k=d nicht der fall wäre. nun wählst du diese parameter natürlich so, dass die gleichung möglichst einfach wird. dazu setze ich a=k=1 und b=-d=c
die gleichung wird dann zu:
∂2f∂η∂ξ=0
mit den transformationsgleichungen:
ξ=x+ct
η=x-ct

Diese gleichung ist schon fast trivial. ihre lösung ist
f(ξ,η)=g(ξ)+h(η)=h(x+ct)+g(x-ct)
der eine term ist eine nach links laufende der andere eine nach rechts laufende welle. insbesondere lässt sich h(x+c⋅t) zu null setzen. dann ist
f(x,t)=g(x-c⋅t) eine nach rechts laufende welle.
für die b musst du den laplaceoperator in kugelkoordinaten transformieren.


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