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wendepunkte mit einem parameter
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 18:20 Uhr, 28.08.2005  |
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hey! ich brauche dringend hilfe! ich hab eine funktion f gegeben mit f(x)=x(hoch)4 - 2ax(hoch)3 + 6x(hoch)2 - 5 in der schule haben wir schon berechnet für welche werte von a die funktion keinen wendepunkt hat und für welche werte von a sie zwei hat! jetzt lautet die frage warum man für keinen wert von a genau einen wendepunkt haben kann!? kamm mir wer helfen?? lg anna |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Ich denke mal, ihr habt das in der Schule auch so gemacht. Ich rechnen jetzt erstmal allgemein die Wendepunkte aus: f(x)=x^4-2ax³+6x²-5 f'(x)=4x³-6ax²+12x f''(x)=12x²-12ax+12 f'''(x)=24x-12a Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0 0=12x²-12ax+12 |:12 0=x²-ax+1 Anwendung der p, q-Formel (x1,2=-p/2 +-Wurzel aus ((p/2)²-q)) p=-a; q=1 x1,2=a/2+-Wurzel aus (a²/4 -1) Wenn unter der Wurzel 0 herauskommt, kann es nur einen Wendepunkt geben, da x dann a/2 wäre. Also setzen wir a²/4 -1 gleich 0 und berechnen a. a²/4 -1=0 |+1 a²/4=1 |*4 a²=4 a=+-2 Wenn a=+-2 ist, gibt es (sowie es bis jetzt aussieht) einen Wendepunkt. Wollen wir dies nun überprüfen. Die 2.Ableitung wäre dann: f''(x)=12x²-24x+12 f'''(x)=24x-24 Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0 0=12x²-24x+12 |:12 0=x²-2x+1 Auch hier wenden wir die p, q-Formel an: x1,2=1 Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f'''(x) ungleich 0: f'''(1)=0 Die hinreichende Bedingung ist also nicht erfüllt und somit liegt bei a=2 KEIN Wendepunkt vor. Überprüfen wir dies mit a=-2: Die 2.Ableitung wäre dann: f''(x)=12x²+24x+12 f'''(x)=24x+24 Notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f''(x)=0 0=12x²+24x+12 |:12 0=x²+2x+1 Auch hier wenden wir die p, q-Formel an: x1,2=-1 Hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes f'''(x) ungleich 0: f'''(-1)=0 Die hinreichende Bedingung ist also nicht erfüllt und somit liegt bei a=-2 ebenfalls KEIN Wendepunkt vor. Da es aber nur diese beiden Möglichkeiten gab (a=2 oder a=-2), bei denen ein Wendepunkt vorliegen kann, haben wir gezeigt, dass es für kein Wert von a einen Wendepunkt gibt. Weitere Hilfen auf www.mathe1.de |
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hey! vielen vielen herzlichen dank! du hast mir mit deiner ausführlichen antwort sehr geholfen :)) bis dann |
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