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wenn n nicht prim => n|(n-1)!

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Elementare Zahlentheorie

Primzahlen

Tags: Elementare Zahlentheorie, Primzahl

 
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Clemensum

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18:38 Uhr, 13.06.2011

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Sei n∈N\P. Man zeige:
n>4⇒n∣(n-1)!

Ich vermute, man kommt hier mit Induktion weiter, jedoch klappt mir der Induktionsschrit nicht. Sollte es nicht mit Induktion gehen, dann bitte ich euch um einen Tipp, wie ich dies angehen könnte, da mir momentan wirklich die Ideen fehlen!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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rundblick

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19:08 Uhr, 13.06.2011

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" Ich vermute, man kommt hier mit Induktion weiter..2



eines ist sicher: du wirst weder mit Induktion noch mit der
Beweismethode der vollständigen Induktion weiterkommen
(informiere dich über die wesentliche Idee dieser Beweisführung)


.. wenn n keine Primzahl ist, dann kannst du n als Produkt darstellen,
dessen Faktoren alle kleiner sind als n
und jeder dieser Faktoren muss in der Menge
der natürlichen Zahlen von 1 bis n-1 irgendwo jeweils vorkommen

also : warum wohl teilt n

das Produkt (n-1)!=1⋅2⋅3⋅4⋅⋆⋅(n-2)⋅(n-1)


ach ja: ..und warum n>4?
Clemensum

Clemensum aktiv_icon

19:22 Uhr, 13.06.2011

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Also, deine Idee formal dargestellt:
n∈N\P⇒n=:a⋅b:a,b<n.
⇒a,b∈{1,…,n-1}.
⇒n∣(n-1)(n-2)⋯2⋅1
Verwendet wurde der Satz:
Wenn eine Zahl zwei weitere Zahlen teilt, dann teilt sie auch deren Produkt.

Meine letzten zwei Fragen:
1. Hast du dir das so vorgestellt?
2. Ich vermute, der Beweis würde auch mit Wilson gelingen, kannst du dem zustimmen?

P.S.: Wäre n≤4, so bliebe, da 3,2 Primzahlen sind, nur mehr 4! übrig. Dann müsste man aber 3! betrachten. Würde der Satz nun auch für besagtes gelten, dann würde 4|6 gelten, ein Widerspruch. Ergo hat es nur Sinn, die Aussage des Satzes für solche n∈N zu betrachten, wo (n-1)! mindestens 2n groß ist...
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DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

19:53 Uhr, 13.06.2011

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Da n keine Primzahl ist, kannst du n in zwei Faktoren, die nicht unbedingt Primzahlen sein müssen, zerlegen.

Falls die beiden Faktoren verschieden sind kommen sie auch in (n-1)! als Faktoren vor und der Beweis ist geführt.

Falls die beiden Faktoren gleich sein müssen, wie z.B. bei n=9, ist einer jedenfalls in (n-1)! als Faktor enthalten (hier 3). Aber auch sein Doppeltes (hier 6) findet sich in (n-1)!, jedenfalls dann, wenn n>4 ist (deshalb diese Bedingung).


GRUSS, DK2ZA
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