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wie komme ich auf das Bildungsgesetz?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Bildungsgesetz, Folgen, Reihen

mathenr aktiv_icon

18:46 Uhr, 11.05.2009

ich habe eine arithmetische oder eine geometrische Folge und soll

z . b

. die Summe der ersten

10

Glieder berechnen

- \to

okay das bekomme ich noch hin, aber komme ich dann auf das Bildungsgesetz jeweils von geom. bzw arithm. Folge

Kann mir da jemand weiter helfen?

Wäre klasse!

Astor aktiv_icon

18:52 Uhr, 11.05.2009

Hallo,
stelle bitte deine Frage an einem konkreten Beispiel.
Gruß Astor

mathenr aktiv_icon

08:01 Uhr, 12.05.2009

okay sorry hier ist meine Aufgabe für art. Folge.

Danke euch schon mal für Antworten!

magix aktiv_icon

09:56 Uhr, 12.05.2009

Das Bildungsgesetz heißt

a_{n} = (n - 3) \cdot (- 43) + 1

Die wichtige Frage ist wie immer: Wie kommt man da drauf? Ich hab auch eine Weile rumprobiert, denn ich mache das immer mit ein bisschen Inspiration. Am besten geht es, wenn man einfach mal eine Art Wertetabelle aufstellt mit

n

und den Werte von

n

n/Wert von

n

\frac{1}{87}

\frac{2}{44}

\frac{3}{1}

\frac{4}{- 42}

\frac{5}{- 85}

\frac{6}{- 128}

Nachdem du ja schon

d = - 43

ermittelt hast, muss dieser Wert eine Rolle spielen. Meine Idee war, dass

n

korrigiert um einen Wert

x

mit

(- 43)

multipliziert wird. Nun sieht man, dass bei

n = 3

der Wert von

n

sehr nahe bei 0 liegt. Das brachte mich auf die Idee, dass für

n = 3 : 0 \cdot (- 43)

dastehen müsste. Daraus ergibt sich dann, dass der Korrekturwert

x = - 3

sein müsste, also (n-3)*(-43)und dann eben noch 1 dazuaddiert. Anhand der Wertetabelle kann man schnell überprüfen, dass dieses Bildungsgesetz für die ersten sechs

n

das richtige Ergebnis liefert. Müsste also passen.

Liebe Grüße

Magix

pepe1 aktiv_icon

11:27 Uhr, 12.05.2009

arith. Folge:

a_{1}; a_{2}; a_{3}; ... . a_{i} ... .; i \in ℕ

Es gilt:

a_{i + 1} - a_{i} = d [=

konstant

]

\to \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i + 1} - a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} d

\to

a_{n} - a_{1} = (n - 1) \cdot d

Also das Bildungsgesetz:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

[

dies entspricht natürlich dem zuvor angegebenem heuristisch gefundnem Bildungsgesetz:

a_{n} = (n - 3) \cdot d + 1]

\to

- 129 = - 128 - 1 = a_{6} - a_{3} = 5 \cdot d - 2 \cdot d = 3 \cdot d \to d = - \frac{129}{3} = - 43

a_{1} = a_{3} - 2 \cdot d = 1 + 86 = 87

[

oder auch

a_{1} = a_{6} - 5 \cdot d = 87

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} [a_{1} + (i - 1) \cdot d] = n \cdot a_{1} + d \cdot \frac{1}{2} \cdot (n - 1) \cdot n =

n \cdot [a_{1} + (n - 1) \cdot \frac{d}{2}] = \frac{n}{2} \cdot [a_{1} + a_{n}]

\to

Summenformel:

S_{n} = n \cdot [a_{1} + (n - 1) \cdot \frac{d}{2}]

S_{10} = 10 \cdot [87 + 9 \cdot \frac{(- 43)}{2}] = - 1055

mathenr aktiv_icon

10:49 Uhr, 13.05.2009

okay danke für die Antworten.

Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass das Bildungsgesetz: an=a1+(n-1)*d immer bei art. Folgen passt?

Und wie sieht es mit geom. Folgen aus?

magix aktiv_icon

12:36 Uhr, 13.05.2009

Bei geometrischen Folgen heißt das Bildungsgesetz:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1},

wobei

q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

Aber mal im Ernst: Kauf die 'ne gescheite mathematische Formelsammlung. Da steht sowas drin und noch viel mehr. Das ist ja sonst gerade so, als ob ein Zimmermann keinen Hammer und keinen Hobel hätte.

Gruß Magix

mathenr aktiv_icon

12:39 Uhr, 13.05.2009

okay danke

leider ist die Klausur schon Freitag. ;-(

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